NHK高校講座

長さ３ｍの棒と分度器、三角比の表を使って玲央くんの身長を求めてみましょう！

長さ３ｍの棒を底辺にして、タンジェントを使って身長を求めようと考えた学び隊。
しかし、斜辺に棒がないと角度を測れないですね。
そこで３人は、長さ３ｍの棒を斜辺にして、サインを使って身長を求めることにしました。
角度を分度器で測ると３８度でした。
ｓｉｎ３８°＝玲央くんの身長／３（ｍ）
と表せるので
ｓｉｎ３８°＝０．６１５７より
玲央くんの身長＝３ｓｉｎ３８°＝３×０．６１５７＝１．８４７１（ｍ）
と求められます。

先ほどの玲央くんの身長を求める問題を例に考えてみましょう。
地面に沿ってｘ軸をとり、地面と棒が接している場所を原点Ｏとしてｙ軸をとります。
そしてｘ軸と棒のなす角をθとおきます。
ここで、玲央くんの頭のてっぺんを点Ｐとすると、
点Ｐのｘ座標は３ｃｏｓθ、ｙ座標は３ｓｉｎθと表せます。
なぜそうなるのか、座標軸の中に直角三角形を思い描いて考えてみてください。
ｓｉｎθ＝対辺／斜辺なので、
ｓｉｎθ＝対辺／３より対辺＝３ｓｉｎθとなります。
このとき、対辺の長さが座標軸における点Ｐのｙ座標となります。
また、
ｃｏｓθ＝底辺／斜辺なので、
ｃｏｓθ＝底辺／３より底辺＝３ｃｏｓθとなります。
このとき、底辺の長さが座標軸における点Ｐのｘ座標となります。

一般的な形で表したのが上の図です。
線分ＯＰの長さをｒとして、ｘ軸の正の方向とOPのなす角をθとします。
０°≦θ≦９０°として考えてみましょう。
点Pのｘ座標はｒｃｏｓθ、ｙ座標はｒｓｉｎθと表すことができます。
ｙ＝ｒｓｉｎθよりｓｉｎθ＝ｙ／ｒ
ｘ＝ｒｃｏｓθよりｃｏｓθ＝ｘ／ｒ
そして、座標軸上にできた直角三角形に注目すると、
ｔａｎθ＝ｒｓｉｎθ／ｒｃｏｓθ＝ｙ／ｘ　　（θ≠９０°）
線分OPを１次関数のグラフの一部だと考えると、タンジェントは傾きだということが実感できますね。

ここでｒ＝１の場合を考えてみましょう。
ｓｉｎθ＝ｙ
ｃｏｓθ＝ｘ
ｔａｎθ＝ｙ／ｘ　　（θ≠９０°）
このようにシンプルで便利な式となります。

具体的な角度を使って考えてみましょう。

ｘ軸の正の方向とOPのなす角が３０°のとき
直角三角形の辺の比は１：２：√３となることから
OP=1のとき、
対辺の長さは１／２、つまり点Pのｙ座標は１／２
底辺の長さは√３／２、つまり点Pのｘ座標は√３／２
となります。
ｓｉｎθ＝ｙ、ｃｏｓθ＝ｘ、ｔａｎθ＝ｙ／ｘより、
ｓｉｎ３０°＝１／２
ｃｏｓ３０°＝√３／２
ｔａｎ３０°＝（１／２）／（√３／２）＝１／√３

ｘ軸の正の方向とOPのなす角が４５°のとき
直角三角形の辺の比は１：１：√２となることから
OP=1のとき、
対辺の長さは１／√２、つまり点Pのｙ座標は１／√２
底辺の長さは１／√２、つまり点Pのｘ座標は１／√２
となります。
ｓｉｎθ＝ｙ、ｃｏｓθ＝ｘ、ｔａｎθ＝ｙ／ｘ　　より、
ｓｉｎ４５°＝１／√２
ｃｏｓ４５°＝１／√２
ｔａｎ４５°＝（１／√２）／（１／√２）　＝１

ここで、三角比と座標について教えてくれるのは湯浅弘一先生（ゆあさま）です☆

直角三角形を使って考えると、鋭角（０°＜θ＜９０°）の場合の三角比しか考えられません。
しかし、座標にあてはめて考えることで鈍角（９０°＜θ＜１８０）の三角比についても考えられるようになります。
θが鈍角になっても考え方は変わりません！
ただし点Pのｘ座標はマイナスの値となります。
今までは三角比を辺の長さで考えていたのでマイナスの値はでてきませんでしたが、座標軸を使って鈍角の三角比を考える場合にはマイナスの値も出てくるので注意しましょう！

原点Oを中心とした円の半径を１とするとき、
ｓｉｎθ＝ｙ
ｃｏｓθ＝ｘ
ｔａｎθ＝ｙ／ｘ　　（θ≠９０°）
となります。
θが鈍角の場合にはｘの値がマイナスになるので、ｃｏｓθとｔａｎθの値はマイナスになります。
また、θ＝９０°のときｘ＝０となり、ｔａｎθ＝ｙ／ｘ　は分母が０となるので計算できません。
つまり、ｔａｎ９０°の値はありません。

それでは問題を解いてみましょう！
０°≦θ≦１８０°のとき、次の等式を満たすθを求めなさい。
（１）ｓｉｎθ＝１／√２
（２）ｃｏｓθ＝−１／２
（３）ｔａｎθ＝−１

答えは…

（１）θ＝４５°，１３５°
　　サインの値はθが鋭角でも鈍角でもプラスの値になることに注意しましょう！

（２）θ＝１２０°
　　三平方の定理から（１／２）^２＋ｂ^２＝１
　　これを計算することで点Pのｙ座標は√３／２と求められます。
　　すると、ｘ軸の負の方向とOPがなす角は６０°となっていることがわかります。
　　つまり、θ＝１８０°−６０°＝１２０°となります。

（３）θ＝１３５°
　　ｔａｎθ＝−１なので、ｙ軸の正の方向とOPがなす角は４５°となっていることがわかります。
　　よって、θ＝４５°＋９０°＝１３５°となります。

ポイントは、三角定規の辺の比です。
斜辺が１のときの比に直すことが大切です。

数学は毎日少しずつ繰り返して復習することで必ずできるようになります。
次回もお楽しみに〜☆