NHK高校講座

数学T

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:10〜2:30
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第30回 第3章 三角比

三角比と座標

  • 数学監修:湘南工科大学特任教授 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

三角比と座標

  • 松本あゆ美さん
  • 学び隊

この番組のMCは松本あゆ美さん。
そして今回みなさんと一緒に学習するのは、
学び隊の、奥井亜実さん、多堀玲央くん、山崎紗彩さん(崎は山偏に竒)の3人です!

玲央くんの身長を測れ!
  • タンジェントを使ってもとめる?
  • サインを使って求める方が良さそう!

長さ3mの棒と分度器、三角比の表を使って玲央くんの身長を求めてみましょう!

長さ3mの棒を底辺にして、タンジェントを使って身長を求めようと考えた学び隊。
しかし、斜辺に棒がないと角度を測れないですね。
そこで3人は、長さ3mの棒を斜辺にして、サインを使って身長を求めることにしました。
角度を分度器で測ると38度でした。
sin38°=玲央くんの身長/3(m)
と表せるので
sin38°=0.6157より
玲央くんの身長=3sin38°=3×0.6157=1.8471(m)
と求められます。

三角比を座標で考える
  • 地面に沿ってx軸をとる
  • 点Pのx座標は3cosθ、y座標は3sinθ

先ほどの玲央くんの身長を求める問題を例に考えてみましょう。
地面に沿って軸をとり、地面と棒が接している場所を原点Oとして軸をとります。
そして軸と棒のなす角をθとおきます。
ここで、玲央くんの頭のてっぺんを点Pとすると、
点Pの座標は3cosθ座標は3sinθと表せます。
なぜそうなるのか、座標軸の中に直角三角形を思い描いて考えてみてください。
sinθ対辺斜辺なので、
sinθ=対辺より対辺sinθとなります。
このとき、対辺の長さが座標軸における点Pの座標となります。
また、
cosθ底辺斜辺なので、
cosθ底辺より底辺cosθとなります。
このとき、底辺の長さが座標軸における点Pの座標となります。

  • 点Pのx座標はrcosθ、y座標はrsinθ
  • r=1の場合

一般的な形で表したのが上の図です。
線分OPの長さをとして、軸の正の方向とOPのなす角をθとします。
0°≦θ≦90°として考えてみましょう。
点Pの座標はcosθ座標はsinθと表すことができます。
sinθよりsinθ
cosθよりcosθ

そして、座標軸上にできた直角三角形に注目すると、
tanθsinθcosθ  (θ≠90°)
線分OPを1次関数のグラフの一部だと考えると、タンジェントは傾きだということが実感できますね。

ここで=1の場合を考えてみましょう。
sinθ
cosθ
tanθ  (θ≠90°)

このようにシンプルで便利な式となります。

  • x軸の正の方向とOPのなす角が30°
  • x軸の正の方向とOPのなす角が30°のとき

具体的な角度を使って考えてみましょう。

軸の正の方向とOPのなす角が30°のとき
直角三角形の辺の比は1:2:√3となることから
OP=1のとき、
対辺の長さは1/2、つまり点Pの座標は1/2
底辺の長さは√3/2、つまり点Pの座標は√3/2
となります。
sinθ、cosθ、tanθより、
sin30°=1/2
cos30°=√3/2
tan30°=(1/2)(√3/2)=1/√3

  • x軸の正の方向とOPのなす角が45°のとき
  • x軸の正の方向とOPのなす角が45°のとき

軸の正の方向とOPのなす角が45°のとき
直角三角形の辺の比は1:1:√2となることから
OP=1のとき、
対辺の長さは1/√2、つまり点Pのy座標は1/√2
底辺の長さは1/√2、つまり点Pのx座標は1/√2
となります。
sinθ、cosθ、tanθ  より、
sin45°=1/√2
cos45°=1/√2
tan45°=(1/√2)(1/√2) =1

三角比を鈍角に拡張する
  • 湯浅弘一先生(ゆあさま)
  • θが鈍角になっても考え方は同じ

ここで、三角比と座標について教えてくれるのは湯浅弘一先生(ゆあさま)です☆

直角三角形を使って考えると、鋭角(0°<θ<90°)の場合の三角比しか考えられません。
しかし、座標にあてはめて考えることで鈍角(90°<θ<180)の三角比についても考えられるようになります。
θが鈍角になっても考え方は変わりません!
ただし点Pのx座標はマイナスの値となります。
今までは三角比を辺の長さで考えていたのでマイナスの値はでてきませんでしたが、座標軸を使って鈍角の三角比を考える場合にはマイナスの値も出てくるので注意しましょう!

  • 原点Oを中心とした円の半径を1とする
  • θが鈍角の場合にはxの値がマイナス

原点Oを中心とした円の半径を1とするとき、
sinθ
cosθ
tanθ 
 (θ≠90°)
となります。
θが鈍角の場合にはの値がマイナスになるので、cosθとtanθの値はマイナスになります。
また、θ=90°のとき=0となり、tanθ は分母が0となるので計算できません。
つまり、tan90°の値はありません。

キミもチャレンジ!
  • 解いてみよう
  • 学び隊

それでは問題を解いてみましょう!
0°≦θ≦180°のとき、次の等式を満たすθを求めなさい。
(1)sinθ=1/√2
(2)cosθ=−1/2
(3)tanθ=−1

  • サインの値はθが鋭角でも鈍角でもプラスの値
  • x軸の負の方向とOPがなす角は60°

答えは…

(1)θ=45°,135°
  サインの値はθが鋭角でも鈍角でもプラスの値になることに注意しましょう!

(2)θ=120°
  三平方の定理から(1/2)=1
  これを計算することで点Pの座標は√3/2と求められます。
  すると、軸の負の方向とOPがなす角は60°となっていることがわかります。
  つまり、θ=180°−60°=120°となります。

  • y軸の正の方向とOPがなす角は45°

(3)θ=135°
  tanθ=−1なので、軸の正の方向とOPがなす角は45°となっていることがわかります。
  よって、θ=45°+90°=135°となります。

  • 三角定規の比
  • 三角定規の比

ポイントは、三角定規の辺の比です。
斜辺が1のときの比に直すことが大切です。

  • 次回もお楽しみに
  • 次回もお楽しみに〜

数学は毎日少しずつ繰り返して復習することで必ずできるようになります。
次回もお楽しみに〜☆

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