NHK高校講座

数学T

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:10〜2:30
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第11回 第1章 数と式

分母の有理化

  • 数学監修:湘南工科大学特任教授 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

分母の有理化

  • 松本あゆ美さん
  • 学び隊

この番組のMCは松本あゆ美さん。
そして今回みなさんと一緒に学習するのは、
学び隊の、山崎紗彩さん(崎は山偏に竒)、小味山紗英さん、奥井亜実さんの3人です!

番組では、問題を解いて答えを出すだけでなく、
「数学的な考え方や見方」について考えたり見つけたり説明したりしていきます。

やってみよう〜ルートの計算〜
  • たし算ができる2つの数を選ぼう
  • 紗英ちゃんと亜実ちゃん

次の中から、たし算ができる2つの数を選んでください!
そして、その計算をしてみましょう。
√5、√6、√8、√10、√12、√15、√18、√20、√22、√24、√27、
√28、√30、√32、√35、√40、√42、√44、√48、√50

(※表記できていませんが、√の上には線があります。以下同様です。)

  • ルートの中の数を素数のかけ算の形に変形
  • ルートの中の数が同じになったら、ルートの外側にある係数をたしたりひいたりすることができる

最初に、ルートの計算のポイントを復習しておきましょう。
ルートの中の数を素数のかけ算の形に変形します。
このとき平方になる数があればルートの外に出しましょう。
ルートの中の数が同じになったら、ルートの外側にある係数をたしたりひいたりすることができます。

  • √6と√24
  • √8と√18

先ほどの問題の答えです。
☆√5と√20
  √5+√20=√5+2√5=3√5
☆√6と√24
  √6+√24=√6+2√6=3√6
☆√8と√18
  √8+√18=2√2+3√2=5√2
☆√10と√40
  √10+√40=√10+2√10=3√10
☆√12と√27
  √12+√27=2√3+3√3=5√3

この他にも、
√8と√32、√8と√50、√18と√32、√18と√50、√32と√50、
√12と√48、√27と√48

これらが、たし算できます。

  • ルートのかけ算
  • 松本あゆ美さん

次に、ルートのかけ算の復習です。
>0、>0とすると
☆√×√=(√=
☆√(×)=√
☆√(×)=√×√=√ab

(※ルートの中を( )でくくって表記しています。以下同様です。)

ルートの計算〜割り算〜
  • 2÷√2を計算
  • 学び隊

2÷√2を計算してみましょう。

√2を1.4142として電卓で計算すると、
2÷√2=2/√2=1.4142…
となります。
このような計算に毎回電卓を使うのは面倒ですね。

数学では、分数の分母にはルートを書かないというルールがあります。
計算の結果、分母にルートが入ってしまった場合には、分母を有理化して、ルートをはずしましょう。
この“有理化”が今回の学習のポイントです☆

これ、知っ得!?
  • 1はいろいろな分数の形で表すことができる
  • 分母と分子に同じ数をかけることを倍分という

分数のルールについて確認しておきましょう!
ある数に1をかけても値は変わりません。
つまり×1=となります。
この関係は、ある数が分数でも成り立ちます。
つまり(1/)×1=1/となります。(ただし≠0)

さて、1はいろいろな分数の形で表すことができます。
1=1/1=2/2=3/3=…=  (ただし≠0)

したがって
(1/)×1=(1/)×()=  (ただし≠0)
と書いても値は変わりませんね!
このように、分母と分子に同じ数をかけることを倍分といいます。
もちろん、最終的に計算結果を書くときには約分して1/としてくださいね!

分母の有理化
  • 2/√2の分母を有理化してみよう
  • 2/√12の分母を有理化してみよう

それでは今回のテーマ“分母の有理化”について学習していきましょう!
分母から無理数がなくなるように(分母が有理数になるように)することを分母の有理化といいます。

2/√2の分母を有理化してみましょう!
上の左図を見てください。

分母と分子にそれぞれ√2をかけて
2/√2=(2/√2)×(√2/√2)=(2×√2)/(√2×√2)=2√2/2=√2
となりまね。
最後に2で約分するのを忘れないようにしましょう!

それではもう1問!
2/√12の分母を有理化してみましょう。
分母と分子にそれぞれ√12をかけて
2/√12=(2/√12)×(√12/√12)と計算していっても答えは出ます。
しかし、もっと楽に計算するために、√12=2√3と先に計算してしまいましょう。
2/√12=2/2√3=1/√3=(1/√3)×(√3/√3)=√3/3
となります。
分母と分子にそれぞれ√3をかけて分母を有理化しました。
このように、分母の有理化をするときには、事前にルートの中の数をなるべく小さくすることがポイントです。

  • 3/√24の分母を有理化しなさい
  • 最初にルートの中の数をなるべく小さくするようにしよう

問題です!
3/√24の分母を有理化しなさい。

答えは…
3/√24=3/2√6=(3×√6)/(2√6×√6)=3√6/12=√6/4
となります。
最初にルートの中の数をなるべく小さくするのがポイントでしたね!
約分も忘れないようにしましょう☆

√の計算に挑戦!
  • 湯浅弘一先生(ゆあさま)
  • (√5+√3)/2となる

今回、分母の有理化について教えてくれるのは湯浅弘一先生(ゆあさま)です☆

1/(√5−√3)の分母を有理化してみましょう。
まず、乗法公式の)()=を使います。
上の右図のように、分母と分子に(√5+√3)をかけましょう。
計算すると答えは(√5+√3)/2となります。

  • 6/(√7−2)の分母を有理化しなさい
  • 答えは2√7+4

それでは問題!
6/(√7−2)の分母を有理化しなさい。

まず、分母と分子に(√7+2)をかけましょう。
計算すると答えは2√7+4となります。
分数の約分をするときには、はじめに分子がひとつの数でくくれるかを確認するようにすると、上の右図のような間違いを防げますよ!

  • 分母の有理化のまとめ

分母の有理化のまとめです。
しっかり確認しておきましょう!

キミもチャレンジ!
  • ルートの中の数字をなるべく小さく
  • 分母の有理化

問題です!
1/√2 + 2/√8 − 1/(√2+1) を計算しなさい。(上の左図を参照)

まず、ルートの中の数字をなるべく小さくしましょう。√8=2√2となりますね。
次に分母の有理化をします。
上の右図のように、計算すると答えはとなります。
みなさん、できましたか〜!?

  • 次回もお楽しみに〜
  • 次回もお楽しみに〜

数学は毎日少しずつ繰り返して復習することで必ずできるようになります。
次回もお楽しみに〜☆

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