NHK高校講座

数学T

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:10〜2:30
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第5回 第1章 数と式

乗法公式

  • 数学監修:湘南工科大学特任教授 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

乗法公式

  • 松本あゆ美さん
  • 奥井亜実さん、加藤幹夫くん、小味山紗英さん

この番組のMCは松本あゆ美さん。
そして今回みなさんと一緒に学習するのは、学び隊の、奥井亜実さん、加藤幹夫くん、小味山紗英さんの3人です!

番組では、問題を解いて答えを出すだけでなく、「数学的な考え方や見方」について考えたり見つけたり説明したりしていきます。

かけ算に挑戦!?
  • 計算をしてみましょう
  • 乗法公式

以下の計算をしてみましょう!
101
101×99
99


学び隊の3人は筆算を使ってそれぞれ答えを出しました。
101=10201
101×99=9999
99=9801

となります。

さて、これらの計算をもっと簡単にできる公式があります。
公式とは、計算の方法や法則を示すために文字であらわした式のことです。
今回は、かけ算の公式である乗法公式について学習していきましょう!

  • 乗法公式が成り立つか確かめる
  • 乗法公式が成り立つか確かめる

4つの乗法公式が成り立つか確かめてみましょう。

)を展開すると…
)=()(
      =abab
      =+2ab


)を展開すると…
)=()(
      =abab
      =−2ab


このように、分配法則を使って展開することで2つの公式が成り立つことが確かめられましたね。

  • 和と差の積は2乗の差
  • 具体的な数字を当てはめて、公式が成り立っているかを確認

次に確かめるのは)()=
この公式は「和と差の積は2乗の差」と覚えましょう!

今度は具体的な数字を当てはめて、公式が成り立っているかを確認します。
公式の左辺)(=3,=2を代入すると…
(3+2)(3−2)=5×1=5
公式の右辺=3,=2を代入すると…
−2=9−4=5
左辺も右辺も同じ答えになったので、公式が成り立っていることがわかりましたね。

  • 乗法公式
  • 松本あゆ美さん

最後に)()=+()abが成り立つことも確認してみましょう。
展開しても、具体的な数字を代入しても確認できます。

【展開して確認】
)()=bxaxab
           =+()ab

このように分配法則を使って展開すると、公式が成り立つことが確認できましたね!

【具体的な数字を代入して確認】
公式の左辺()(=3,=2を代入すると…
+3)(+2)=+2+3+6=+5+6
公式の右辺+(ab=3,=2を代入すると…
+(ab+(3+2)+3×2=+5+6
左辺も右辺も同じ答えになったので、公式が成り立っていることがわかりましたね。

乗法公式はいつでも成り立ちます。しっかり覚えておきましょう☆

乗法公式に当てはめて計算しよう
  • 乗法公式を使ってみよう
  • 学び隊

それでは、乗法公式を使ってみましょう!
問題です。
(3−5)を展開しなさい。

  • 湯浅先生
  • 学び隊

ここで乗法公式について教えてくれるのは湯浅弘一先生(ゆあさま)です。

(3−5)を展開するには、)−2abの公式を使いましょう。
=3=5と考えればよいですね。
(3−5)=(3)−2×3×5+5
       =9−30+25

となります。

乗法公式を面積で考える
  • 長方形の縦の長さをx+a、横の長さをx+bとする
  • 長方形の面積は「あ」と「い」と「う」と「え」の面積を合わせたもの

数学では、見方を変えることも大事です。
)()=+()abを、面積を使って考えてみましょう。
長方形の縦の長さを、横の長さをとします。
すると、上の左図において
「あ」の面積は
「い」の面積はax
「う」の面積はbx
「え」の面積はab
となります。
長方形の面積は「あ」と「い」と「う」と「え」の面積を合わせたものなので、
)()=axbxab+()ab
となり、公式が成り立つことが確認できましたね!

ちなみに、他の3つの乗法公式も面積を使って確認することができます。
みなさん、やってみてくださいね☆

数学のちょっと難しい話
  • あゆ美さんと湯浅先生
  • 乗法公式はしっかり覚えよう

乗法公式を覚えなくても分配法則を使って計算したらいいじゃないか!と思った人はいませんか?
しかし、乗法公式はこの先登場する因数分解でも使うことになります。
覚えていないと因数分解ができませんので、しっかり覚えないとだめですよ〜。

乗法公式を使いこなそう!
  • 乗法公式
  • 学び隊

それでは最後に問題です!
最初に考えた以下の問題を、乗法公式を使って計算してみましょう!
101
101×99
99


101)+2ab
を使いましょう。
101=(100+1)
     =100+2×100×1+1
     =10000+200+1
     =10201


101×99)()=を使いましょう。
101×99=(100+1)(100−1)
       =100+1
       =10000−1
       =9999


99−2ab
を使いましょう。
99=(100−1)
     =100−2×100×1+1
     =10000−200+1
     =9801


みなさん、できましたか〜?
「習うより慣れろ」です。繰り返しが大切ですよ☆

  • 次回もお楽しみに

数学は毎日少しずつ繰り返して復習することで必ずできるようになります。
次回もお楽しみに〜☆

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