NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第36回 データの活用

条件のある確率

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

条件のある確率

条件のある確率
  • さくらさんと玄さん
  • 1人が男の子だったとき、もう1人も男の子である確率

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。」
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「確率を楽しむ」!
次のような問題を考えてみましょう☆
ある家庭に2人の子どもがいます。そのうち1人が男の子だったとき、もう1人も男の子である確率を求めなさい。

「もう確率はバッチリ!」という玄さんに、早速この問題を解いてもらいましょう!
「これ問題になってる?そんなの1/2に決まってる!」と自信満々ですが…
答えは1/2じゃありませんよ〜。

STEP1  例題1
  • 赤の3番の玉が出る確率
  • さくらさん

例題を考えてみましょう!
赤い玉が4個、白い玉が3個入った袋があります。
赤い玉には1〜4、白い玉には1〜3の番号が書かれています。
この袋の中から1個を取り出すとき、赤の3番の玉が出る確率は?


前回の内容です!
7個のうち1個が出るので…
答えは1/7です☆
色の違いに惑わされないようにしましょう!

STEP2  例題2
  • 袋の中から1個を取り出すと、赤の玉
  • 玄さん

それでは、次の例題を考えてみましょう!
赤い玉が4個、白い玉が3個入った袋があります。
赤い玉には1〜4、白い玉には1〜3の番号が書かれています。
この袋の中から1個を取り出すと、赤の玉でした。
これが3番である確率は?


この場合、取り出した玉が赤であることが分かった上での確率を求めるということです。
赤い玉は全部で4個ですから…
答えは1/4です。

  • 面積が1の長方形にすべての事象を当てはめる
  • どの玉も選ばれる確率は1/7

先ほどの問題を図を使って考えてみましょう。
確率は、すべての事象のうち、ある場合の数がどれだけにあたるかという割合です。
面積が1の長方形にすべての事象を当てはめます。
どの玉も選ばれる確率は1/7なので、面積も1/7です。
ですから、
赤い玉が出る確率は(7つのうちの4つなので)4/7
白い玉が出る確率は(7つのうちの3つなので)3/7
となります。

  • 4つのうちの1つ
  • 玄さん

さて、今回の問題では、赤い玉が出た場合を考えているので、白い玉が出た場合は除外して考えましょう。
赤い玉が出た場合を全体として、3番が出る確率を求めます。
4つのうちの1つですから、答えは1/4となります。
これを条件付き確率といいます。

  • パパっと分かる問題
  • 玄さんの考え

それでは、パパっと分かる問題を解いてみましょう☆
ある家庭に2人の子どもがいます。そのうち1人が男の子だったとき、もう1人も男の子である確率を求めなさい。
という問題でしたね!

玄さんは次のように考えました。
1人目は男の子だとわかっていて、2人目は男の子か女の子の2通り。
だから答えは1/2!

…でも、この問題で「1人目が男の子」とは言っていませんよね?

  • 性別の組み合わせを書き出した表
  • 2人とも女の子の場合は除外

2人の男の子をAとBとして、性別の組み合わせを書き出してみましょう。
すると上の左図のようになります。
「1人目が女の子で2人目が男の子」の場合があることがわかりますね。
ここで、問題文から「1人は男の子」だとわかっているので、2人とも女の子の場合は除外して考えます。
残った組み合わせは3通りです。(上の右図参照)
その中で2人とも男の子なのは1通りですから、確率は1/3です☆

複数のくじを同時に引く確率を求める
  • 2軒目で忘れた確率
  • 1軒目〜3軒目の店で忘れた場合と、忘れずに家に持ち帰った場合の確率をたすと「1」

発展問題に挑戦してみましょう!
ひろかずくんは、店に入ると1/3の確率でスマートフォンを忘れます。
3軒の店に寄って帰宅すると、スマホがないことに気づきました。
2軒目で忘れた確率を求めなさい。


まず、“スマホの行方”に注目して条件を整理しましょう。
(1)1軒目の店に忘れる
(2)2軒目の店に忘れる
(3)3軒目の店に忘れる
(4)忘れずに家に帰る

この4通りが考えられます。

(1)1軒目の店に忘れる確率は1/3
次に(2)2軒目の店に忘れるのは、1軒目に忘れなかったときだけです。
つまり、1軒目で忘れない確率「2/3」にひろかずくんが忘れる確率「1/3」をかけて
(2/3)×(1/3)=2/9
となります。
同じように考えて、(3)3軒目の店に忘れるのは、1軒目でも2軒目でも忘れなかったときだけです。
つまり、1軒目で忘れない確率「2/3」に2軒目で忘れない確率「2/3」をかけ、さらにひろかずくんが忘れる確率「1/3」をかけて
(2/3)×(2/3)×(1/3)=4/27
となります。
1軒目〜3軒目の店で忘れた場合と、忘れずに家に持ち帰った場合の確率をたすと「1」になります。

  • 3軒のうちいずれかの店にスマホを忘れる確率を全体とする
  • 6/19

さて、問題文を思い出してください。
ひろかずくんは家に帰ったときにスマホがないことに気づいています。
ですから、忘れずに家に帰る場合は除外して考えます。
求めたいのは、3軒のうちいずれかの店にスマホを忘れる確率を全体としたときに、2軒目の店にスマホを忘れる確率です。
それぞれの店に忘れる確率をたして、いずれかの店にスマホを忘れる確率を求めます。
分母を通分してたすと…
(1/3)+(2/9)+(4/27)=(9/27)+(6/27)+(4/27)=19/27
ですから、求める確率は
 (2軒目にスマホを忘れる確率)/(いずれかの店にスマホを忘れる確率)
=(6/27)/(19/27)
=6/19


  • 次回もお楽しみに〜!

条件付き確率を求めるポイントは、1つ1つの条件をよく考えて整理すること。
確率を把握していれば、どのように行動したらよいかの判断材料になりますよ!

確率について理解を深めた玄さん。
「そそっかしいひろかずくんの行く末が心配…」と考え込んでいます。
でも大丈夫。
さくらさん曰く「彼はきっと立派な学校の先生になるよ〜」とのこと。
あれ?さくらさん、ひろかずくんのこと知ってるの!?

次回もお楽しみに!

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