NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第35回 場合の数から確率へ

確率を楽しむ

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

確率を楽しむ

確率を楽しむ
  • さくらさんと玄さん
  • 3色がすべてそろう確率は?

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「確率を楽しむ」!
次のような問題を考えてみましょう☆
袋の中には赤い玉が2個、白い玉が2個、青い玉が2個、合計6個が入っています。
この中から3個を同時に取り出すとき、3色がすべてそろう確率は?


STEP1 確率の求め方
  • 赤い玉が出る確率は?
  • 5個の玉に番号を付けて考えよう

確率の求め方を確認しておきましょう。
問題です!
赤い玉が3個、白い玉が2個入った袋の中から1個を取り出すとき、赤い玉が出る確率は?

まず、5個の玉に番号を付けて考えます。(上の右図参照)
この場合、袋の中から1個を取り出すので、全事象の場合の数は5通りです。
取り出した1個が赤である場合は「1」または「2」または「3」の3通りが考えられます。
確率(ある事象が起きる場合の数)/(全事象の場合の数)で求めることができるので、
(赤1個が出る場合の数)/(全事象の場合の数)=3/5
と求めることができます。

  • 当たりを引く確率は?
  • 当たりは2枚ある!

確率の求め方、思い出せましたか?
それでは、次の問題を考えてみましょう!
箱の中に5枚のくじが入っています。そのうちの2枚が当たりです。
1枚引くとき、当たりを引く確率は?


玄さんは「5枚の中から1枚引くんだから1/5でしょ!!」と自信満々ですが…
答えは2/5。
当たりが2枚あることを忘れちゃダメです☆

STEP2 続けてくじを引く確率を求める
  • 続けてくじを引く場合
  • くじにそれぞれ名前を付ける

次は、続けてくじを引く場合の問題です。
箱の中に当たり2枚、ハズレ3枚の合計5枚のくじが入っています。
この中から1枚ずつ2回続けてくじを引くとき、1回目が当たり、2回目がハズレになる確率を求めましょう。
ただし、1回目に引いたくじは箱に戻すこととします。


くじにそれぞれ名前を付けて考えましょう。
当たりをAとB、ハズレをCとDとEとします。(上の右図参照)

  • 全事象の場合の数は25通り
  • 6/25

表を作って考えましょう。
1回目が5通り、2回目が5通りですから、全事象の場合の数は
5×5=25(通り)
となります。
そして、
1回目に当たりを引く場合の数は10通り。
その中で、2回目にハズレを引く部分を考えると6通りです。
確率の式に当てはめると…
(ある事象が起きる場合の数)/(全事象の場合の数)=6/25
と求めることができます。

STEP3 複数のくじを同時に引く確率を求める
  • 1枚が当たり、もう1枚がハズレになる確率
  • 全事象の場合の数は20通り

それでは、くじを同時に2枚引く場合についても考えてみましょう!
箱の中に当たり2枚、ハズレ3枚の合計5枚のくじが入っています。
この中から同時に2回のくじを引くとき、1枚が当たり、もう1枚がハズレになる確率を求めましょう。


この場合、2枚同時に引くわけですから、同じくじを引くことはできません。
ですから、先ほどの表から2枚同じくじを引く場合の「5通り」を引いた数が、全事象の場合の数になります。
25−5=20(通り)
ということです。
この中で、1枚が当たりで、もう1枚がハズレになる組み合わせは「12通り」あります。
確率の式に当てはめると…
(ある事象が起きる場合の数)/(全事象の場合の数)=12/20=3/5
と求めることができます。

  • 玄さん
  • さくらさん

表は万能そうに思えるかもしれませんが…
もし、くじが5枚ではなくたくさんあったら、表を書くのは大変ですよね。
100枚の中から2枚同時に引くとき…と問われたら、表は書きたくないですよね〜!?

STEP4 組み合わせの公式の利用
  • 1枚が当たり、もう1枚がハズレになる確率
  • 2/11

それでは、実際に考えてみましょう☆
当たりくじ10枚、ハズレくじ90枚の合計100枚のくじの中から2枚を同時に引くとき、1枚が当たり、もう1枚がハズレになる確率を求めましょう。

2枚を同時に引くということは、“100枚の中から2枚を組み合わせる”ということです。
組み合わせはCrで求められましたね!
当てはめて計算しましょう。
100C=(100×99)/(2×1)=9900/2=4950(通り)
となります。
また、
当たり10枚の中から1枚を引く場合の数は、10(通り)
ハズレ90枚の中から1枚を引く場合の数は、90(通り)
ですから、
当たり1枚、ハズレ1枚を同時に引く場合の数は
10×90=900(通り)
となります。
よって、求める確率は
900/4950=10/55=2/11
と求めることができます。

  • 3色がすべてそろう場合の数は?
  • 3色がすべてそろう確率は?

それでは、パパっと分かる問題を解いてみましょう☆
袋の中には赤い玉が2個、白い玉が2個、青い玉が2個、合計6個が入っています。
この中から3個を同時に取り出すとき、3色がすべてそろう確率は?

という問題でしたね!

全事象の場合の数は
C3=(6×5×4)/(3×2×1)=20(通り)
です。
次に、3色がすべてそろう場合の数を考えます。
それぞれ2個ずつある赤、白、青の玉を、各色1つずつ取るということですから、
C1×C1×C1=2×2×2=8(通り)
ですから、求める確率は
8/20=2/5
と求められます。

  • 次回もお楽しみに〜!

これで、くじ引きの確率はバッチリですね☆
玄さんとさくらさん、商店街で福引に挑戦する話で盛り上がっています。
どちらも「自分が1等を当てる!」と主張しますが…商店街の福引には全部で何枚のくじが入っているんでしょうね…?

次回もお楽しみに!

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