NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第33回 場合の数から確率へ

組み合わせ

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

組み合わせ

組み合わせ
  • さくらさんと玄さん
  • 問題を解いてみよう

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「組み合わせ」!
次のような問題を考えてみましょう☆
5人組のアイドルから、3人組の新たなユニットをつくることになりました。
5人の中から3人を選ぶ場合の数は何通りでしょうか?

STEP1 組み合わせとは
  • 順列
  • 組み合わせ

さて、前回は5人組のアイドルを横一列に並べる仕方を考えましたね。
これを順列といい、順番をつけて一列に並べる方法でした。

今回は5人の中から3人を選ぶ問題です。
順番を考えずに複数を選ぶ、組み合わせという考え方です。

  • 表
  • ポイントはコンビネーション!

組み合わせを考える場合には、「どっちが先で、どっちが後」とか「どっちが上で、どっちが下」などの順番は関係ないのがポイント☆

5人の中から3人を選ぶ場合の数は何通りになるか、表を使って考えてみましょう。
順番に書き出していくと、上の左図のようになり、10通りであることがわかります。
ですが、毎回このような表を書いて求めるのは大変です。
計算で求める方法を覚えましょう。
ポイントはコンビネーションです!

STEP2 組み合わせの公式
  • 異なるn個のものからr個を選ぶ場合の数
  • 異なる5人のなかから3人を選ぶ場合の数を求める

異なるn個のものからr個を選ぶ場合の数は、次のように表せます。
C=n!/{r!(n−r)!} (n≧r)
「C」という記号は組み合わせを意味するCombinationの頭文字です☆

それでは、この公式を使って、パパっと分かる問題を解いてみましょう。
異なる5人のなかから3人を選ぶ場合の数を求めるという問題でしたね!
C3=5!/{3!(5−3)!}
  =(5×4×3×2×1)/(3×2×1×2×1)
  =10
答えは10通りと求めることができました!

  • 途中の式を約分
  • 21通り

先ほどの計算で、途中の式を約分してみましょう。
(5×4×3×2×1)/(3×2×1×2×1)=(5×4×3)/(3×2×1)
とできます。
分子は「C」の左下の数字を先頭にして、順番に「C」の右下の数だけかけ合わせます。
分母は「C」の右下の数の階乗ですから、「C」の右下の数を先頭に1までの数をかけ合わせます。
このように考えて解くと、素早く解くことができます☆

それでは問題をやってみましょう!
7個の物から2個を選ぶ場合の選び方は何通り?

公式に当てはめて計算すると…
C2=(7×6)/(2×1)=21
答えは21通りです☆

  • 10個の物から7個を選ぶ場合の選び方は何通り?
  • だんだん数が大きくなってくると、式が長くなって大変そう?

もう1問やってみましょう☆
10個の物から7個を選ぶ場合の選び方は何通り?

公式に当てはめて計算すると…
10C=(10×9×8×7×6×5×4)/(7×6×5×4×3×2×1)=120
答えは120通りです☆

だんだん数が大きくなってくると、式が長くなって大変そうですよね。
「100人から99人選ぶときとかを考えると大変そう!」という玄さん。
そんなときには少し視点を変えて、選ばれなかった1人に注目してみるといいですよ☆

  • 「5人の中から3人選ぶ」ということは「2人選ばない」のと同じ
  • 組み合わせの公式

5人の中から3人選ぶ」ということは「2人選ばない」のと同じです。
つまり…
選ばれた3人の組み合わせ「C」と選ばれなかった2人の組み合わせ「C」は、同じ場合の数になります。
C2=(5×4)/(2×1)=10
となるので、答えは10通り。
Cを計算したときと同じになっていることがわかりますね!

つまり、組み合わせの公式には、次のような関係があります。
CCn−r

  • 3日間の出演者を選ぶ場合の数は何通り?
  • 5通りが3日間続く

最後の問題☆
新曲をリリースすることになった5人組のアイドル。
プロモーションのために、3日連続でテレビ番組に出演することになりました。
ただし、
・1日に1人だけ
・同じ人が何日番組に出てもOK
とします。
このとき、3日間の出演者を選ぶ場合の数は何通り?


まず、1日目の出演者は5人の中から1人なので、5通りの選び方があります。
同じ人が2日目も出演してもよいことから、2日目も5通りの選び方があります。
そして3日目も同様なので5通り。
つまり、5通りが3日間続くので、
5×5×5=5=125(通り)
となります!

  • 重複順列
  • 図や表を書いてビジュアル化しよう!

先ほどの問題のように、いくつかの異なるものn個から、重複を許してr個選んで並べたときの順列を重複順列といいます。
つまり、先ほどの問題は順列の問題だったんです!

順列と組み合わせは、問題によっては見分けるのが難しいときがあります。
むしろ、それが判断できれば解けたも同然です。
そのためには、図や表を書いてビジュアル化してみると、わかりやすくなりますよ☆

  • 次回もお楽しみに〜!

「今回はアイドルの問題だったから、数学って感じがしなかった!」という玄さん。
今後もアイドルの問題をご所望のようす。
ですが…「世の中そんなに甘くない!」とさくらさんから一喝!

次回もお楽しみに!

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