NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

ベーシック数学

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今回の学習

第32回 平面図形

三角形・四角形の内角と外角

  • 数学監修:湘南工科大学特任教授 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

●三角形、四角形の内角の和を確認する   ●三角形、四角形の外角を知り、外角の和が360°であることを確認する

  • 冴場

所長の冴場明子、所員の根本数未南波カケル、3人が働く「冴場探偵事務所」。
この探偵事務所には、なぜか数学にまつわる出来事ばかりが起こるのであった。
   

今回の相談者は、板前修行中の半田さとしさん。
店のお皿を落として割ってしまったので、板長(上司)に見つからないうちに、同じ皿を買って戻しておきたい。
   

三角形か四角形の皿だったが、棚の高いところにあったのでよく見えなかった。
三角形か四角形か、この破片から調べて欲しいという相談である。
   

数未:所長、この破片から三角形か四角形か、わかるんですか?
カケル:これ、見てくださいよ。
角(かど)の破片が3つあります。
だから、三角形のお皿だったんです。
数未:残ってる角(かど)が3つだからって、お皿が三角形だったとは限らないでしょ。
カケル:そうか、もう1つの角(かど)が粉々になったのかも知れませんね。
冴場:こういうときは「三角形、四角形の内角と外角の和」を考えればいいのよ。
   

三角形の内角の和

三角形ABC。
3つの角(かく)を「∠A」「∠B」「∠C」という記号で表し、それぞれ「かくA」「かくB」「かくC」と呼びます。
また、三角形の内側の角を「内角」といいます。
∠A、∠B、∠Cは、この三角形の内角です。
   

数未:内側の角(かく)だから、内角ですね。
冴場:そうね。三角形の内角には、とても大切な性質があります。
カケル:どんな性質ですか?
冴場:それは、「三角形の内角の和は、180°」という性質です。
つまり、∠A+∠B+∠C = 180°となります。
数未:3つの角の大きさをたすと、180°になるんですね。
   

カケル:でも、どうして「三角形の内角の和は、180°」なんですか?
冴場:では、確かめてみましょう。
この三角形を3つに分けて並べると、直線上に並びました。
数未∠Aと∠Bと∠Cをたすと、180°ですね。
冴場:この「三角形の内角の和は180°」という性質は、すべての三角形にあてはまるのよ。
   

四角形の内角の和
  • 四角形

冴場:では、次は四角形よ。
四角形の内角の和は、何度になるかな?
カケル:さっきみたいに、分けて並べてみればわかるんじゃないですか?
冴場:それでも良いけど、今度は「三角形の内角の和は180°」という性質を使って、「四角形の内角の和」を考えてみようか。
   

  • 四角形
  • 四角形の内角の和

四角形ABCDを2つに分けます。
すると、三角形ABDの内角の和は、180°
また、三角形BCDの内角の和も180°です。
2つの三角形の内角を すべてたすと四角形ABCDの内角の和になります。
180°と180°をたすと 360°です。
ですから、四角形の内角の和は 360°です。
   

三角形・四角形の外角の和
  • 四角形の内角の和

冴場:三角形には「外角」もあります。
このように辺を延ばしてできるそれぞれの角を「Aの外角」「Bの外角」「Cの外角」といいます。
では、この三角形の3つの外角の和は、何度になるかな?
カケル:外角の和?
冴場:実は、三角形の外角の和は360°なの。
では、カケル君に 、体を使って三角形の外角の和が360°だということを確かめてもらいましょう。
    

冴場:では、カケル君、この床の上の三角形の辺の上に立ってみて。
カケル:はい。
冴場:じゃあ、そこからBに向かって。
カケル:はい。Bに着きました。
冴場:そこで、Cの方に向きを変えて。
カケル:はい。Cの方に向きを変えました。
冴場:カケル君。今、どのくらいの角度、向きを変えたかな?
カケル:えーと・・・
あ!Bの外角の角度だけ、向きを変えました。
    

冴場:じゃあ、あとはその調子で、CからAを通って、元の位置まで戻って。
カケル:はい。Cに進んで、Cの外角だけ、向きを変えます。
次に、Aに進んで、Aの外角だけ、向きを変えます。
そして、元の位置に戻りました。
   

冴場:さて、今、カケル君は、B、C、Aで向きを変えました。
その角度の合計は、Bの外角、Cの外角、Aの外角、この3つの外角の合計です。
つまり、これは「三角形の外角の和」です。
そして、これは円のひと回りになっているので、360°です。
ということで、三角形の外角の和は360°ということが確かめられました。
   

冴場:ここでもう1つ、大切なことがあります。
例えば、四角形でも五角形でも、今カケル君がやってくれたように外角の角度だけ向きを変えて図形の周りをひと回りすると、元の向きに戻ります
ひと回りってことは、360°よね。
数未:ということは、三角形でも四角形でも五角形でも、外角の和は360°になるんですね。
冴場:そのとおり。
    

  • 冴場

冴場事件は、美しく解きましょう。

冴場:これは、割れたお皿の3つの角です。
    

冴場:それぞれの角度を測ると80°80°100°でした。
この3つの角度を足すと、260°です。
数未:あ、そうか。もしお皿が三角形なら3つの内角の和は、180°になるはずですよね。 
カケル: 260°は180°より大きいから、割れたお皿は四角形です。
数未:お皿は、三角形か、四角形、どっちかだったもんね。
冴場:そのとおり。これで、この相談は解決ね。
   

  • 四角形のお皿

半田:本当にありがとうございました!
冴場:どういたしまして・・・。
数未:お皿、買えたんですか?
半田:はい、おかげさまで買えました。この四角形のお皿です。
   

  • お皿を落とす

半田:見てください。(と持ち上げた皿を落とす
カケル:あ〜 またバラバラだ。
数未:あ〜あ・・・
    

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