NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

ベーシック数学

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今回の学習

第32回 場合の数から確率へ

順列

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

順列

順列
  • さくらさんと玄さん
  • 2人を並べる並び順は?

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「順列」!
列に並べることを考えます☆

では、さくらさんと玄さんの並び順は何通りでしょう?
 ☆さくらさん−玄さん
 ☆玄さん−さくらさん
この2通りですね!

  • さくらさんと玄さん
  • 5人組のアイドルを横一列に並べる仕方は何通り?

さて、2人の場合の並び順を考えましたが、これが3人、4人、5人…だった場合はどう考えますか?

それでは今回のパパっと分かる問題☆
5人組のアイドルを横一列に並べる仕方は何通りありますか?

STEP1 順列を図にして考える
  • 3人を横一列に並べる仕方は何通り?
  • 2(通り)×3=6(通り)

1列に並べることを、数学では順列といいます。

それでは問題!
3人を横一列に並べる仕方は何通り?

3人を、A、B、Cとして考えてみましょう。
最初に、左端がAの場合について考えます。
Aの隣にはBあるいはCが並ぶ、2通りの並び方があります。
A−B−C
もしくは
A−C−B
ということです。
次に、左端がBの場合について同様に考えます。
Bの隣にはAあるいはCが並ぶ、2通りの並び方があります。
B−A−C
もしくは
B−C−A
ということです。
そして、左端がCの場合についても同様に考えて、
C−A−B
もしくは
C−B−A
の2通りの並び方があります。
つまり、2通りが3つあるので、
2(通り)×3=6(通り)
となります。

このように順列を書き並べた図は、木の枝が広がっているようすに見えるので、樹形図(ツリー)といいます。

  • 樹形図にチャレンジ?
  • さくらさんと玄さん

樹形図を理解した玄さん。
「5人の場合も樹形図(ツリー)を書けばいいんだよね!」と自信満々だったので、チャレンジしてもらいました。
5人をA、B、C、D、Eとして考えてくれた結果が、上の左図です。
「もう書ききれない!」とのことですが、それ以前にいろいろな問題がありそうですね。。。

STEP2 順列を計算で考える
  • 3人を横一列に並べる場合
  • 4人を横一列に並べる場合

樹形図(ツリー)はわかりやすいですが、数が多くなると大変です。
そこで!順列の場合の数を計算で求めてみましょう☆

3人を横一列に並べる場合の樹形図は、上の左図のようになりましたね。
左端はA、B、Cの誰かになるので3通り
次は左端以外の2人のどちらかなので2通り
最後は残りの1人に決まるので1通り

となるので、
3×2×1=6(通り)
と求めることができます。

4人を横一列に並べる場合も考えてみましょう。樹形図は上の右図のようになります。
左端はA、B、C、Dの誰かになるので4通り
次は左端以外の3人の誰かになるので3通り
その次は残る2人のうちのどちらかなので2通り
最後は残りの1人に決まるので1通り

となるので、
4×3×2×1=24(通り)
と求めることができます。

  • 120(通り)
  • 10人を横一列に並べる場合は?

それではパパっと分かる問題を解いてみましょう☆
5人組のアイドルを横一列に並べる仕方は何通りありますか?
…という問題でしたね!

玄さんに計算機を使って答えを求めてもらいました。
5×4×3×2×1=120(通り)
これが答えです☆
この場合の考え方は…
左端はA、B、C、D、Eの誰かになるので5通り
次は左端以外の4人の誰かになるので4通り
その次は残る3人のうちの1人なので3通り
次は残る2人のどちらかなので2通り
最後は残りの1人に決まるので1通り
ということですね!

では、10人を横一列に並べる場合も考えてみましょう!
10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800(通り)
となります。

STEP3 順列の公式
  • 階乗
  • 1からnまでの自然数の積は n!

4人を一列に並べる計算方法は
4×3×2×1=24(通り)
でしたね。
これを
4!=24(通り)
と表します。
」を階乗といい、
4!=4×3×2×1=24(通り)
となります。

同様に考えると、
5人を一列に並べる計算方法は
5!=5×4×3×2×1=120(通り)
となり、
1からnまでの自然数の積は
n!=n×(n−1)×(n−2)×・・・×3×2×1
と表すことができます。

  • センターをAさんとする
  • Aさんを除く残りの4人の順列を考えればよい

「ところで玄さん、5人組のアイドルの中で、推しの子はいるの?」と聞くさくらさん。
どうやら1人、推しの子がいるようす。
では、その子がセンターだと決まっている場合、5人組の並び順は何通りになるか考えてみましょう!
センターをAさんとします。
難しく思いますか??
でも、この問題は、Aさんを除く残りの4人の順列を考えればよいのです!
ですから、
4!=24(通り)
となります。

  • 次回もお楽しみに〜!
  • こっち向きがかわいい?

「ぼくとさくらちゃんの順列の場合は2通りだし、どっちがセンターとかもないから、平和だよね!」という玄さん。
しかし…
「私…あなたの位置、狙ってるけどね。」というさくらさん。
その理由は…
「私、こっち向きの方がかわいいと思うんだよね!」
とのこと!?
…いやいや、逆向きもかわいいです☆

次回もお楽しみに!

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