NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第31回 三角比の導入

正多面体

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

正多面体

正多面体
  • 正多面体
  • さくらさん

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「正多面体」!
次のような問題を考えてみましょう☆
正十二面体の辺の数はいくつでしょうか?

STEP1 正多面体とは
  • 正多面体
  • 1つの頂点に集まる面の数は3

正多面体とは、
(1)すべての面が合同な正多角形。
(2)1つの頂点に集まる辺の数と面の数がどこも同じ

となります。
全部で5つ、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体が正多面体です。

例えば…
4枚の合同な正三角形を組み合わせた正四面体を例に考えてみましょう。
1つの頂点に集まる面の数は3となっていることがわかります。

  • 正四面体を2つくっつけた立体
  • 1つの頂点に集まる面が3つになっているところと、4つになっているところがある

同じ大きさの正四面体を2つくっつけた立体は、すべての面が合同な正三角形ですが、
1つの頂点に集まる面が3つになっているところと、4つになっているところがあります。
つまり、これは正多面体ではありません。
すべての面が合同でも、正多面体とは限らないので、注意が必要です!

STEP2 正多面体の頂点の数を求める
  • 正五角形の頂点は5つで、それが12枚
  • 正十二面体の頂点の数は20個

それでは問題!
正十二面体の頂点の数はいくつでしょうか?

正十二面体の面の数は12。正五角形12枚でできています。
正五角形の頂点は5つで、それが12枚あるので
頂点の数は5×12=60(個)
正十二面体の1つの頂点には正五角形が3つ集まっています。
つまり、3つの頂点がくっついて1つになるということです。
ですから、
60÷3=20(個)
正十二面体の頂点の数は20個です!

  • 正五角形の辺は5本
  • 2枚の正五角形の辺と辺がくっついている

それではパパっと分かる問題を解いてみましょう☆
正十二面体の辺の数はいくつでしょうか?
…という問題でしたね!

正十二面体の面はすべて正五角形です。
正五角形の辺は5本あります。
これが12枚あるので、辺の数は
5×12=60(本)
正十二面体の1つの辺は、2枚の正五角形の辺と辺がくっついてできています。
つまり、
2つの辺がくっついて1つになるということです。
ですから、
60÷2=30(本)
正十二面体の辺の数は30本です!

  • 縦×横×高さ
  • 底面積×高さ×(1/3)

他の立方体についても考えてみましょう!
立方体(正六面体)の体積の求め方は…
縦×横×高さ
でしたね。
では、三角錐の体積の求め方、覚えていますか?
底面積×高さ×(1/3)
で求められるので、覚えておきましょう☆

STEP3 正四面体の体積を求める
  • 高さがわかりません
  • 立方体を使って正四面体の体積を求めてみます

問題です!
1辺の長さが√2の正四面体の体積を求めなさい。

三角錐の体積は「底面積×高さ×(1/3)」で求められるのでしたね。
しかし、高さがわかりませんね。
そこで、今回は立方体を使って正四面体の体積を求めてみます。
上の右図のように、4つの頂点を線分で結ぶと、立方体の中に正四面体を作ることができます。
立方体の体積から、正四面体の周りにできる4つの三角錐の体積を引くと、正四面体の体積を求めることができます。

  • 1:1:√2
  • 底面積×高さ×(1/3)

直角二等辺三角形の辺の比を使いましょう。
1:1:√2でしたね。
正四面体の1辺が√2なので、立方体の1辺の長さは1となることがわかります。
立方体の体積は「縦×横×高さ」で求められるので
1×1×1=1
です。
三角錐の体積は「底面積×高さ×(1/3)」で求められるので
{1×1×(1/2)}×1×(1/3)=1/6
となります。
この三角錐が4つあるので、求める正四面体の体積は
1−(1/6)×4=2/6=1/3
と求められます!

  • 玄さん
  • 次回もお楽しみに〜!

「立方体から切り出して考えるなんて目からウロコ!」とよろこぶ玄さん。
ちょっとおもしろくなってきちゃった!とのことなので、正二十面体の体積を求めてもらおうと思います。
「まずは立方体をつくって正二十面体を切り出すところから始めよう☆」
と腕まくりする玄さんですが…本当にそれで求められる!?

次回もお楽しみに!


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