NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

今回の学習

第30回 三角比の導入

三平方の定理の利用

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

三平方の定理の利用

三平方の定理の利用
  • さくらさんと玄さん
  • ビルの高さxを求めなさい

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「三平方の定理の利用」!
三平方の定理を使うと、メジャーで測れないような高い建物の高さを知ることができます。
次のような問題を考えてみましょう☆
ビルがあります。天気が良い日にビルの影の先から屋上までの仰角(ぎょうかく)が60°でした。
影の長さは30m。このビルの高さxを求めなさい。


仰角とは、地面に対して上向きの角度のことをいいます。

STEP1 練習問題
  • ABの距離xを求めましょう
  • 三平方の定理

まずは、三平方の定理を思い出しておきましょう!
問題です!
ひろかずくんは普段、家Aから交差点Cを通って学校Bに通っています。
車で距離を測ると、AからCまでの距離は3km、CからBまでの距離が2kmでした。
ある日AとBを直線で結ぶ近道を見つけました。しかし、道が狭いので車で距離を測ることができません。ABの距離xを求めてみましょう!


この問題を、三平方の定理を使って解きましょう。
直角三角形の斜辺の2乗は、他の2辺の2乗の和に等しい」というのが三平方の定理でしたね。

  • xは√13km
  • さくらさんと玄さん

問題を解いていきましょう!
∠ACBが直角なので、
AB=AC+CB
となります。
それぞれの数を代入すると
=3+2
  =9+4
  =13
 x=√13 (x>0)
つまり、xは√13kmです☆

三平方の定理、思い出しましたか?
直角三角形のこのような性質は、江戸時代から利用されていました。

STEP2 三角形の性質
  • 塵劫記
  • 観測している人

江戸時代の算術書「塵劫記(じんこうき)」
筆者は吉田光由です。
この中に、木の高さの測り方が書かれています。
観測している人は、直角二等辺三角形の端におもりを吊るしています。
直角二等辺三角形の底辺を地面と水平にするためです。

  • 直角二等辺三角形の三角定規
  • 木の高さが求められます

これは、三角定規の性質を利用して木の高さを測ろうとしているのです。
三角定規の直角二等辺三角形の角度は90°、45°、45°。辺の比は1:1:√2です。
つまり、測量者から木までの距離と測量者の高さを足せば、木の高さが求められます。

江戸時代にも、このようにして大きなものの長さを測っていたんですね☆

  • 直角を挟む2辺の長さが違う直角三角形の三角定規
  • ビルの高さは30√3m

それではパパっと分かる問題を解いてみましょう☆
ビルの影の先から屋上までの仰角(ぎょうかく)が60°でした。
影の長さは30m。このビルの高さxを求めなさい。

…という問題でしたね!

直角を挟む2辺の長さが違う直角三角形の三角定規は、
角度が90°、30°、60°
辺の長さの比は1:2:√3
でした。
問題に出てくる仰角は60°なので、相似が使えますね。
つまり
BP:x=1:√3
BPの長さは30mなので
30:x=1:√3
   x=30√3
よって、ビルの高さは30√3mです!

  • 玄くん
  • さくらさん

√3=1.7320508…(「ひとなみにおごれや」と覚えましょう☆)
ですから、ビルの高さはだいたい51.9mです。
つまり…玄くん28.5人分くらいの高さってことです!
…かえって分かりづらいですね。。。

  • 問題を解いてみよう
  • 高さが3、底辺が4、の直角三角形の斜辺の長さは5

さて、もう1問やってみましょう。
丸太から材木を切り出すときに便利なこの問題☆
断面が60cm×45cmの長方形の材木を切り出すためには、直径が何センチメートル以上の丸太が必要でしょうか。ただし、丸太はまっすぐで、ふちの厚さは考えないものとします。

使えそうな三角形の辺の比、覚えていませんか?
高さが3、底辺が4、の直角三角形の斜辺の長さは5になるんでしたね。
三平方の定理を使って計算して求めることができますよ☆
この問題では、この直角三角形を使って解いていきます。

  • 内接する円より直径が大きな丸太ならOK
  • こうやって切り出せますね!

60cm×45cmを材木の断面とすると、内接する円より直径が大きな丸太であれば、材木を切り出すことができます。
つまり、上の左図の赤い直角三角形に注目して、斜辺の長さを求めれば、丸太の直径がわかります。
直角三角形の辺の長さを15で割ると、高さが3、底辺が4の直角三角形と相似であす。
ですから、丸太の直径は5を15倍して、75cm。
答えは、「丸太の直径は75cm以上」です!

  • 次回もお楽しみに〜!

直角三角形の便利さ、わかっていただけましたか?
「これで気になる長さは何でも測れるね!」とやる気をみせる玄さん。
「例えば、さくらちゃんの心の闇の深さとか…」を測りたいとのこと。
さくらさん曰く「浅くないよ!」とのことなので、測ろうとするのは止めておきましょう!
さすがに“何でも”は測れないと思いますが、みなさんも直角三角形の性質を日常生活に役立ててみてくださいね☆

次回もお楽しみに!

科目トップへ

制作・著作/NHK (Japan Broadcasting Corp.) このページに掲載の文章・写真および
動画の無断転載を禁じます。このページは受信料で制作しています。
NHKにおける個人情報保護について | NHK著作権保護 | NHKインターネットサービス利用規約