NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第28回 三角比の導入

三平方の定理を知る

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

三平方の定理を知る

三平方の定理を知る
  • さくらさんと玄さん
  • パパっと分かる問題

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「三平方の定理」!
次のような問題を考えてみましょう☆
1辺が1の立方体の対角線の長さを求めなさい。

  • 立方体の対角線
  • 立方体の対角線は合計で4本

立方体の対角線とは、上の左図のように、1つの角と反対側の向かい合う角を結ぶ線のことです。
立方体の対角線は合計で4本あり、対角線の長さはすべて同じです。
三平方の定理を使うと、この対角線の長さがパパっとわかっちゃうんです☆

STEP1 三平方の定理とは
  • 三平方の定理
  • 三平方の定理

直角三角形ABCの辺ABの長さをc、辺ACの長さをb、辺BCの長さをaとします。
このとき、直角と向かい合う辺ABを斜辺といい、3辺の中で1番長くなっています。
この斜辺の長さの2乗は、他の2辺の2乗の和に等しくなります。
つまり…
=a+b
2乗のことを“平方”ということから、これを三平方の定理といいます。
∠Aが直角ならば =b+c
∠Bが直角ならば =c+a
∠Cが直角ならば =a+b
となります。

  • 斜辺BCの長さを求めよう
  • 定規で測ってみる

∠A=90°、AB=4、AC=3の直角三角形において、直角と向かい合う斜辺BCの長さを求めてみましょう。

三平方の定理から
BC=4+3
   =16+9
   =25
辺の長さは0以下にならないので、BC>0より
BC=5
と求めることができます!

実際に、∠A=90°、AB=4、AC=3の直角三角形を書いて、斜辺BCの長さを定規で測ってみると、BC=5となっていることが確かめられますよ☆

  • 直角三角形?
  • 直角三角形ではない

それでは問題!
辺の長さが4、5、6の三角形はどんな三角形になるでしょうか?
…パッとはわからないと思いますので、番組ではそれぞれの長さの棒を用意しました。
組み合わせて三角形を作ってみると…
「直角三角形じゃない?」という玄さん。

本当にそうでしょうか???
三平方の定理で確かめてみましょう。
直角三角形では斜辺が1番長くなるので
が他の2辺の2乗の和と等しくなっていれば、直角三角形だと言えるわけです。
=36
+5=16+25=41
つまり、三平方の定理が成り立ちません!
ですから、直角三角形ではないことがわかります。

  • 三角形を書いて角度を測ってみる
  • 三平方の定理が成り立たなければ直角三角形ではない

実際に、辺の長さが4、5、6の三角形を書いて角度を測ってみると、直角にならないことが確認できますよ!

直角三角形の場合には三平方の定理が成り立つ。
つまり、三平方の定理が成り立たなければ直角三角形ではないのです。

STEP2 三平方の定理を使ってみよう!
  • 直角三角形の辺の長さxを求めなさい
  • x=10

三平方の定理を使って問題を解いてみましょう!
上の左図のような直角三角形の辺の長さxを求めなさい。

三平方の定理より
=8+6
  =64+36
  =100
辺の長さは0以下にならないので、x>0より
x=10
と求めることができます!

STEP3 練習問題
  • 辺の長さxの値を求めなさい
  • x=12/5

問題です!
上の左図のような直角三角形の辺の長さxの値を求めなさい。

まず、斜辺の長さが13です。
三平方の定理に当てはめて計算すると
+5=13
   x=13−5
     =169−25
     =144
x>0(辺の長さは0以下にならないですよね!)より
x=12
と求めることができます!

  • 1辺が1の立方体の対角線の長さを求めなさい。
  • BCの長さがわかりませんね…

それではパパっと分かる問題を解いてみましょう☆
1辺が1の立方体の対角線の長さを求めなさい。
…という問題でしたね!

解いていきましょう☆
上の左図のように、頂点をA、B、C、Dとして、線分ABの長さを求めます。
まず△ABCに注目します。
∠ACB=90°ですから、△ABCは直角三角形であることがわかります。
三平方の定理を使いましょう!
AB=AC+BC
   =1+BC
BCの長さがわかりませんね。

  • BC=√2
  • AB=√3

そこで△BCDに注目します。
∠BDC=90°ですから、△BCDは直角三角形であることがわかります。
BCは△BCDの斜辺ですから、三平方の定理を使いましょう!
BC=CD+BD
   =1+1
   =1+1
   =2
BC>0(辺の長さは0以下にならないですよね!)より
BC=√2
ここで先ほどやったように△ABCに注目して、三平方の定理を使いましょう!
AB=AC+BC
   =1+(√2)
   =1+2
   =3
AB>0より
AB=√3
と求めることができます!

  • 次回もお楽しみに〜!

立体でも、直角三角形を見つけて長さを求めることができましたね☆

次回もお楽しみに!

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