NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第25回 2次方程式

2次方程式

  • 数学監修:湘南工科大学特任教授 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

●2次方程式とは   ●簡単な2次方程式を解く

所長の冴場明子、所員の根本数未南波カケル、3人が働く「冴場探偵事務所」。
この探偵事務所には、なぜか数学にまつわる出来事ばかりが起こるのであった。
   

カケルが熱心に本を読んでいる。
その本に「UFOを呼び寄せる図形」が描いてある。
数未は相手にしないが、所長の冴場は興味を持つ。
本に描いてある図と同じ形、同じ大きさの図形をつくれば、それが目印になってUFOがやって来るらしい。
   

カケル:でも、面積は全部で10m2なんですが、辺の長さがわからないんです。
冴場:これは、「2次方程式」を使えばわかるわよ。
   

こうして、2次方程式の学習が始まった。
冴場:さあ、方程式をたてる、つまり方程式をつくるとき、まずすることは?
カケル何を x にするか? を決める!
数未:今回知りたいのは、正方形の1辺の長さだから、それを x にする。
カケル:すると、正方形の面積は x×x。
数未:つまり、正方形の面積は x2乗
冴場:なかなか、いいじゃない。
あとは、これを使って方程式を立てればいいんだよね。
   

2次方程式とは

数未:はい。正方形の面積は x2
これが2つあるから 2x2
さらに2m2の長方形の面積をたすと 2x2 +2
これが全体の面積だから 2x2 +2=10
冴場:うん、良いわね。
これで、この問題を解決する方程式が完成ね。
カケル:でも所長。この方程式には、x 2乗があります。
冴場x 2乗を含む方程式を「2次方程式」というんだけど、
今日は、その「2次方程式」に挑戦ね。
   

冴場:ここに、面積が49cm2の正方形があります。
この正方形の1辺の長さは?
カケル:七七49 だから・・・1辺の長さは7cmです。
冴場:そうね。1辺の長さは7 cm。
これで答えはわかったけど、今度は、この問題を方程式で考えてみよう
   

数未:はい。正方形の1辺の長さを xとします。
すると、正方形の面積は x2
それが 49cm2だから、x2=49
冴場:そう。これが、この正方形の1辺の長さを求める方程式よ。
   

冴場:カケル君、解いてみて。
カケル:はい。x2 =49 だから、x=√49
49=7×7だから、x=7
冴場:そう、x=7は、x2 =49の解の1つです。
でも、実は x2 =49の解は、もう1つあるの。

x2 =49
x に7を入れると、左辺と右辺が等しくなります。
つまり、x =7は、x2 =49の解です。
また、x に −7を入れても、左辺と右辺が等しくなります。
ですから、x = −7も、 x2 =49 の解です。
  

冴場:ということで、2次方程式 x2=49 の解は x=7と x=−7。
これを x=±7と書くこともあります。
でも、今回の場合、 x は正方形の1辺の長さです。
辺の長さには、マイナスはありえません
ですから、この問題では、x=7 だけがこの方程式の解です。
   

平方根

x2=3
この2次方程式の解は x=±√3
このように2乗して3になる数を3の「平方根」といいます。
3の平方根は、+√3と−√3。
平方根はプラスとマイナス、2つあります。
ただし、0の平方根は、0だけです。
  

簡単な2次方程式を解く

冴場:0以外では、「平方根は2つある」ことがわかったところで、簡単な2次方程式を解いてみましょう。
3x2 +2 = 14
数未「x2=数字」の形にしたいから、まず左辺の+2を右辺に移項します。
カケル:ということは、3x2 = 12
次に、両辺を x2の係数3で割って、x2 = 4
x は、2乗して4になる数だから、x=2
冴場:カケル君、それだけ?
カケル:あ、4の平方根は+2と−2、2つあるから、x = ±2ですね。
冴場:はい、正解!
  

冴場事件は、美しく解きましょう。

冴場:今回の問題は、この正方形の1辺の長さは 何mか?
そこで、さっき2人がやったように
正方形の1辺の長さを x mとして方程式を立てると 2x2 + 2 = 10
   

冴場:これを解いていくと、左辺の+2を右辺に移項して、2x2 = 8
両辺を x2の係数2でわって、x2 = 4
この場合、x は辺の長さだから、x=2だけ、−2はありえません
ということで、正方形の1辺の長さは2mです!
これで、この件は解決ね。
   

カケル:所長、完成した目印の図形を持って屋上に行ってきます!
冴場UFO来たら、すぐに呼んでね。
カケル:はいっ!
冴場:がんばって!行ってらっしゃーい。
数未:所長、本気にしてないですよね。
冴場:どうかな。

そこに、カケルの叫び声「あ〜れ〜」
冴場:え、今の声は・・・
   

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