NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第25回 三角比の導入

三角形の合同

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

三角形の合同

三角形の合同
  • さくらさんと玄さん
  • 合同な2つの三角形を探し,それが正しいことを証明しなさい。

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「三角形の合同」!
次のような問題を考えてみましょう☆
上の右図を見てください。
AC=DB,∠ACB=∠DBCであるとき,合同な2つの三角形を探し,それが正しいことを証明しなさい。


何となく、合同な三角形は△ACBと△DBC…のような気がするかもしれません。
しかし、それを証明できますか?
「ハサミで切って重ねれば…」と玄さんは言いますが、それでは証明になりませんよ!

STEP1 三角形の合同条件
  • 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
  • 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
  • 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

図形を移動すると、ピッタリと重ね合わせることができることを合同といいます。
三角形の合同条件は次の3つです。
(1)3組の辺がそれぞれ等しい
(2)2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
(3)1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい


  • 2つの三角形は違う形
  • 2つの三角形は違う形
  • 同じ形の三角形ができあがる

少し確かめてみましょう。

(1)3組の辺がそれぞれ等しい
もし、辺の長さが少し短くなったら、2つの三角形は違う形になりますよね!

(2)2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
この場合にも、1辺の長さが違ったら、2つの三角形は違う形になりますね。

(3)1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
1辺の両端から、決められた角度で辺を伸ばしていくと、同じ形の三角形ができあがることがわかります。

STEP2 同じ部分を見つけ出す
  • 合同な2つの三角形を探そう
  • ポイントは対頂角

上の左図を見てください。
AC=DC,∠CAB=∠CDEであるとき,合同な2つの三角形を探し,それが正しいことを証明しなさい。


これを解くポイントは対頂角です!
∠ACB=∠DCE
となるので、
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」という合同条件を満たしていることがわかります。
したがって、△ACBと△DCEは合同です。

  • 証明
  • さくらさんと玄さん

先ほどの問題を数学の証明の形で書くと、こうなります☆

△ACBと△DCEにおいて    ←合同を証明したい2つの三角形について書く!
 AC=DC(仮定) …(1)    ←「仮定」とは、問題で与えられた条件のこと!
 ∠CAB=∠CDE(仮定) …(2)
 ∠ACB=∠DCE(対頂角) …(3)
(1)〜(3)から、
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、  ←使った合同条件を書く!
△ACB△DCE   ←「≡」は合同を表す記号!

STEP3 パパっと分かる問題を解く
  • 合同な2つの三角形を探そう
  • 証明

それではパパっと分かる問題を解いてみましょう☆
上の左図を見てください。
AC=DB,∠ACB=∠DBCであるとき,合同な2つの三角形を探し,それが正しいことを証明しなさい。

…という問題でしたね!

やはり、△ACBと△DBCが合同になりそうな気がしませんか?
三角形の合同条件のどれがあてはまるか考えてみましょう。
△ACBと△DBCに注目すると、BCが重なっていることがわかります。
これを「共通」といいます。
それでは証明していきましょう☆

△ACBと△DBCにおいて   
 AC=DB(仮定) …(1)    
 ∠ACB=∠DBC(仮定) …(2)
 CB=BC(共通) …(3)
(1)〜(3)から、
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ACB≡△DBC  

  • もう1組合同な三角形があります
  • 次回もお楽しみに〜!

さて、先ほどの問題の図をもう1度見てください。
実は、もう1組合同な三角形がありますよ!

答えは…
(上の左図を見てください)
ACとDBの交点をEとすると、
∠AEB=∠DEC(対頂角)…(1)
また、△EBCは二等辺三角形なので
EB=EC…(2)
仮定からAC=DBなので、AC−ECの長さとDB−EBの長さは同じですから
AE=DE…(3)
(1)〜(3)から、
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△AEB≡△DEC  

みなさん、わかりましたか?
次回もお楽しみに!

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