NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第23回 平方根

√のたし算とひき算

  • 数学監修:湘南工科大学特任教授 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

● √のたし算   ● √のひき算

所長の冴場明子、所員の根本数未南波カケル、3人が働く「冴場探偵事務所」。
この探偵事務所には、なぜか数学に関わる事件ばかりが舞い込むのであった。
   

今回の相談者は、俵屋宗則という彫刻家。
新しく工房を建てることになったが、その入口から自分の代表作の彫刻が入るかどうか、調べてほしいという相談だ。
   

新しい工房は模型のように、面積18m2の正方形の大きい部屋と、面積8m2の正方形の小さい部屋がくっついていて、その間に入口があるという。
問題の彫刻は台座の横幅が1.2mあり、これが入口から入るかどうか、わからないという。
   

カケル:大きい部屋は正方形で、面積が 18m2。だから1辺の長さは √18m
数未:小さい部屋も正方形で、面積が 8m2。だから1辺の長さは √8m
ということは、この入口の幅は、√18−√8 m
カケル:うーん、√18 −√8 って、どうやって計算するんだろう?
    

数未√18 − √8 = √(18 − 8)= √10 で、いいんじゃない?

そこに冴場所長が登場。
冴場:ホントにそうかな?
はっきり言って、この計算方法は間違っているわね。
カケル:え? じゃあ、どうやって計算するんですか?
冴場:では、今日は「√のたし算とひき算」に挑戦しましょう。
   

まず、√の復習。

√a は2乗すると、a になる数です。
ですから、√2 × √2 = 2。
√3 × √3 = 3 となります。
   

√ のたし算

冴場:では、簡単な √ のたし算。√3 + √3は、どうなるかな?
カケル:√3+√3 = √6・・・では、ないんですよね?
冴場:そう、そのやり方は間違いよ。
カケル:じゃあ、どうやるんですか・・・?
冴場:この文字式 a + a は、どう計算したかな?
カケル:a + a =2a です。
冴場:その通り。 a + a は、a が2個だから、2a でした。
√ の場合も、これと同じように、√3 を1つの文字 a と考えて
√3 + √3 = 2√3
となります。
数未:つまり √ 全体を1つの文字と考えれば、いいんですね。
   

√2 + √2 は、√2 を2個たすので √2
2√7 + 3√7 は、√7 を5個たすので √7
となります。
   

√ の計算をするときの「コツ」は、√ の中をできるだけ小さな数にすることです。

例えば√8
この√の中をできるだけ小さな数にしてみましょう。
まず、√8は、√(2 ×4)と表すことができます。
8が小さな数のかけ算になりました。
しかし、4は、2で割ってさらに小さくできます。
すると√8=√(2×2×2)となります。
2は、これ以上、小さな数のかけ算にできません

次に、√ の中の数を外に出します
2×2 を √ の外に出して、√8=2√2 となります。

このようにして、√ の中をできるだけ小さな数のかけ算にして、√ の外に出す数をみつけること。
これが √ の計算のコツです。
   

冴場:では、√27 + √12 このたし算は、できるかな?
カケル:√ の中の数が同じじゃないので、できません。
冴場:こういうときは、さっきのコツを使うの。
数未: √ の中をできるだけ小さな数にするんですね。
√27を小さな数のかけ算にすると √(3×3×3)
√12の方は、√(2×2×3)
√(3×3×3)の中には、3が2個あるので、3を外に出して 3√3
√(2×2×3)の中には、2が2個あるので、2を外に出して 2√3
3√3 + 2√3= 5√3
冴場:√のたし算やひき算をするときは、√ の中をできるだけ小さな数にするのがポイントね。
   

√ のひき算

√75 − √12
75を小さな数のかけ算の形にすると 3×25 になります。
さらに25は、5×5 にできます。
同じように考えると、12は、2×2×3 となります。
√75の中には、5が2個あるので、5を √ の外にだして 5√3
√12の中には、2が2個あるので、2を √ の外にだして2√3
計算すると √75 − √12 = 3√3

冴場:事件は美しく解きましょう。

冴場:この入口の幅は、√18 − √8m
   

18を小さな数のかけ算にすると 2×3×3
8は、2×2×2
√18の中には、3が2個あるので、3を√ の外にだして 3√2
√8の中には、2が2個あるので、2を√ の外にだして 2√2
計算すると、√18 − √8 = 3√2 − 2√2 = √2
入口の幅は、√2mです。

カケル:ところで √2mって、どれくらいの長さでしたっけ?
冴場: 1.4mより ちょっと長いわね。
数未:じゃあ、彫刻の台座の横幅は1.2m だから大丈夫ですね。
冴場:これで、この件は解決ね。
   

事務所に、大きなタヌキの置物がある。
冴場:何、これ?
カケル:実は、横幅は大丈夫だったらしいんですが、高さがドアより高くてドアから入らなかったらしいんです。
数未:っていうか、このタヌキが代表作って・・・ねぇ。
カケル:ま、事務所のイメージキャラクターってことで・・・
冴場・数未:いや、それは、ないわ。
カケル:でも、こんなにかわいいんですよ・・・
タヌキの置物を預かって、困り果てる冴場探偵事務所であった。

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