NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第22回 平方根

√の意味

  • 数学監修:湘南工科大学特任教授 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

●√の意味   ●√をはずす

所長の冴場明子、所員の根本数未南波カケル、3人が働く「冴場探偵事務所」。
この探偵事務所には、なぜか数学にまつわる事件ばかりが舞い込むのであった。
   

ある日、事務所の入り口の前に置いてあった「じゅうたん」をカケルが発見。
そのじゅうたんには、つぎのような手紙がついていた。
この正方形のじゅうたん。面積がキッチリ2平方メートルか? 確かめて!」
   

カケルは、さっそく面積を求めるためにじゅうたんの1辺の長さを測る。
ほぼ1m41cmくらいとわかるが、正確な長さを測ることができない。

数未:1辺の長さがわからないと、面積がわからないね・・・。
冴場:それは、きっと、√(ルート)ってやつだね。
ということで、今日は √(ルート)について考えることになった。
   

√(ルート)の意味

冴場:まず、この正方形で考えてみるよ。
仮に面積が4m2として、1辺の長さは何mになるかな?
かけ算の九九がヒントよ。
数未:そうか、わかった。九九でいえば、ニニンが4だから、1辺の長さは2mです。
冴場:そのとおり。面積が4m2の正方形の1辺の長さは、2m。

では、面積が3m2の正方形の1辺の長さは何mになると思う?
数未:今と同じ考え方をすればいいから・・・
カケル:はい。同じ数を2回かけて3になる数ですよね。
1×1=1、2×2=4、3×3=9。
あれ?同じ数を2回かけて、3になる数がない。
冴場:そう。同じ数を2回かけて3になる数は、整数で表せないの。
だから、そのような数を表すとき、√という記号を使うの。
   

√とは、何を表しているのでしょうか。
たとえば、面積3m21辺の長さ x mの正方形で考えます。

(1辺の長さ)× (1辺の長さ) =(正方形の面積)なので
x × x = 3

このように、2回かけて3になる数 x を 「√3」と表します。
「√」は、根号(こんごう)という記号で「ルート」と読みます。
つまり、面積3m2の正方形の長さの一辺は、√3(ルート3)mです。
   

√をはずす

冴場:では、面積が4m2の正方形の1辺の長さを√で表すと、どうなるかな?
カケル:はい、√4mです。
冴場:そうね。でも面積が4m2の正方形の1辺の長さは、2mでもあったよね。
数未:つまり、√4=2ですね。
冴場:そう。√4は、√をはずすと、2になります。
   

√4=2 であることを確かめましょう。

√4は、√(2×2)と表すことができます。
これは、√2×√2とも表せます。
そして、√2×√2=2なので、√4=2となります。
   

カケル:でも、√3は√がはずれないですよね。
ということは、√がはずれる数と、√がはずれない数があるんですか。
冴場:そうなの。例えば、√4 =√(2×2)のように、√の中に同じ数が2個あれば、√がはずれるのよ。
   

冴場:では、問題で確かめてみましょう。
√9 は、√がはずれるかな。
カケル:はい。√9=√(3×3)です。
3を2回かけているから、√がはずれて、√9=3になります。
冴場:そのとおり。では√8は?
数未:はい。8=2×2×2だから、√8=√(2×2×2) =√2×√2×√2
このうち√2×√2=2だから、√8=2×√2=2√2になります。
冴場:よくできました。 √8は、√をはずすことができないけど、少し簡単になるわね。
   

カケル:このじゅうたんの面積が2m2であるためには、1辺の長さは√2mでなければならないけど・・・
でも、√がつく長さって、正確に測れないんですよね・・・。
数未:そうよね。1辺の長さが測れないから、本当に2m2か、確かめられないな〜。

冴場事件は美しく解きましょう!
   

冴場:この青いシートは1辺が2m面積が4m2の正方形よ。
このシートの上に、じゅうたんをこのように重ねると、
じゅうたんの4つの角がシートの辺の真ん中に重なります。
ということは、この三角形の面積はいくつかな?
数未:1m×1mの正方形の半分だから0.5m2ですね。
冴場:そうね。じゅうたんは、この三角形が4つ分だよね。
カケル:ということは、0.5×4=2。このじゅうたんの面積は2m2です。
   

冴場:そのとおり。
つまり、1辺が√2mで、面積が2m2の正方形ってことになるわね!
これでこの件は、解決ね。
   

冴場探偵事務所に怪しい人物が現れる。
怪しい人:このじゅうたんの面積、きっちり2m2でしたか? 
カケル:はい。1辺が√2mで、面積が2m2の正方形でした。
怪しい人:良かった。これで空が飛べるわ〜。
と、つぶやき、怪しい人はじゅうたんを持って、事務所を去る。
あっけにとられる3人であった。
   

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