NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第21回 文章題から2次方程式を作って解くこと

2次関数を知る

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

2次関数を知る

2次関数を知る
  • さくらさんと玄さん
  • パパっと分かる

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「2次関数を知る」!
次のような問題を考えてみましょう☆
y=−(1/2)xのグラフをかきなさい。

xに具体的な数を代入してyの値を求め、点と点を直線で結べばオッケー!
…なのは、1次関数です。
今回は2次関数!
さて、どうやってグラフをかくのか、考えていきましょう☆

STEP1 2次関数とは
  • 1次関数
  • 2次関数

yがxの1次式で表せる関数が1次関数です。
例えば、y=axやy=ax+bなどです。
そして、
yがxの2次式で表せる関数が2次関数です。
例えば、y=xやy=2x、y=−x+3などです。

  • 1次関数のグラフは直線
  • ヒントは、さくらさんが投げているボール

1次関数のグラフは直線でしたね。
では、2次関数のグラフはどのようになるでしょうか。
ヒントは、さくらさんが投げているボールです☆

STEP2 2次関数をかく
  • 座標を求める
  • カクカクしたグラフ

y=xのグラフをかいてみましょう。
最初に、グラフをかくために座標を求めます。
xの値を代入してyの値を求めましょう。
x=0のとき、y=0
x=1のとき、y=1
x=2のとき、y=4
x=3のとき、y=9
x=4のとき、y=16
となります。
xが負の数のときも考えましょう。
x=−1のとき、y=1
x=−2のとき、y=4
x=−3のとき、y=9
x=−4のとき、y=16
となります。
xが負の数のときにも、2乗すると正の数になるので、yの値は0以上になることがわかりますね。

求めた座標をグラフにかいていきましょう。
点と点を直線で結ぶとカクカクしたグラフになりそうです。
これが2次関数のグラフなのでしょうか?

  • xの値を0.5刻みで考えよう
  • 線からずれたところにある

確かめるために、xの値を0.5刻みで考えてみましょう。
x=0.5のとき、y=0.25
x=1.5のとき、y=2.25
x=−0.5のとき、y=0.25
x=−1.5のとき、y=2.25
です。
これをグラフにかき入れて、先ほどかいた線と比べてみると、これらの座標は線からずれたところにあるのがわかります。

  • 先ほどよりなめらか
  • 原点が頂点

改めて点を直線で結びなおしてみると、先ほどよりなめらかになります。
さらにxの値を細かく変化させて、点を結んでみましょう。
すると、y=xはなめらかなグラフを描くことがわかります。
このグラフを放物線といいます。
このグラフの場合は原点が頂点となっています。

  • 頂点はいつも原点
  • aの値が大きいほどグラフの形は細くなる

y=axのグラフの頂点はいつも原点となり、
aの値が正の数のときには、aの値が大きいほどグラフの形は細くなります。

  • ボールの軌跡が放物線
  • グラフの向きが逆向き?

ボールがヒントだった理由、もうわかりましたか?
さくらさんが投げていたボールの軌跡が放物線なのです。

…「でも、グラフの向きが逆向きじゃないか!」という玄さん。
するどい!!

STEP3 上に凸 下に凸
  • xの値を代入してyの値を求める
  • グラフの完成

それでは、パパっとわかる問題を解いていきましょう!
y=−(1/2)xの交点のグラフを書きなさい。
という問題でしたね。

先ほどと同じように、xの値を代入してyの値を求めましょう。
の係数が負の数なので、yの値はいつも0以下です。
x=0のとき、y=0
x=1のとき、y=−1/2
x=2のとき、y=−2
x=3のとき、y=−9/2
x=4のとき、y=−8
x=−1のとき、y=−1/2
x=−2のとき、y=−2
x=−3のとき、y=−9/2
x=−4のとき、y=−8
となります。
求めた座標をグラフにかいて点をつなげると、グラフの完成です☆

ボールを投げたときの形になりましたね。

  • グラフの完成
  • aの絶対値が大きいほど細いグラフ

つまり、
y=axのグラフは
aの値が正の数のときには下に凸、aの値が負の数のときには上に凸のグラフとなります。
どちらの場合にも、aの絶対値が大きいほど細いグラフになります。
上に凸でも、下に凸でも、2次関数のグラフは放物線です☆


  • 次回もお楽しみに〜!

次回もお楽しみに!

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