NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第19回 文章題から2次方程式を作って解くこと

直線の式

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

直線の式

直線の式
  • さくらさんと玄さん
  • 直線の式を求めよう

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「直線の式」!
次のような問題を考えてみましょう☆
2点P(−2,2),Q(3,7)を通る直線の式を求めなさい。

2点を結ぶと直線がかけることはわかりますよね。
直線の式は、xとyの関係を表しています。

STEP1 xとyの関係
  • 玄さんはさくらさんの3倍ごはんを食べる
  • yはxの関数

玄さんはさくらさんの3倍ごはんを食べるとします。
すると…
さくらさんが食べる量が「1」のとき、玄さんが食べる量は「3」
さくらさんが食べる量が「2」のとき、玄さんが食べる量は「6」
となります。
つまり、
(玄)=3×(さくら)
となり、玄さんを「y」、さくらさんを「x」とすると
y=3x
と表すことができます。
このように、xの値が決まればyの値が1つに決まるとき、yはxの関数であるといいます。
yがxの1次式のとき、yはxの1次関数となります。

STEP2 グラフをかく
  • 3点を座標平面上にとる
  • 3点を結んで伸ばす

それではy=3xをグラフにしてみましょう!
x=1 のとき y=3
x=2 のとき y=6
x=3 のとき y=9
となるので、
この3点を座標平面上にとりましょう。
そして、3点を結んで伸ばしてみると…グラフがかけましたね☆
この直線は原点を通っています。
つまり、さくらさんが食べる量が「0」のとき、玄さんが食べる量も「0」ということです。

STEP3 直線の傾き
  •  3点を座標平面上にとる
  • 3点を結んで伸ばす

玄さんが元気がない場合、さくらさんの2倍しか食べられなくなるようです。
その場合はy=2xと表せますね。

それではy=2xをグラフにしてみましょう!
x=1 のとき y=2
x=2 のとき y=4
x=3 のとき y=6
となるので、
この3点を結んで伸ばしてみると…グラフがかけましたね☆

  • xの係数を傾きという
  • y=axのとき、傾きa

y=3xy=2xのグラフを比べてみましょう。
さて、xの係数を傾きといいます。
y=3xの傾きは3。y=2xの傾きは2です。
2つのグラフを比べると、傾きが「3」のときの方が傾きが急になっていますよね。
このように、
y=axのとき、傾きaの値を見ると、yの値がどれだけ増えたり減ったりするかがわかります。

STEP4 直線の式
  • 直線y=axをy軸方向にbだけ平行移動
  • y=ax+b

直線の式がいつも原点を通るとは限りません。
例えば、原点を通る直線y=axをy軸方向にだけ平行移動すると…
このグラフは点(0,b)を通り、傾きaの1次関数のグラフとなります。
直線の式はy=ax+bと表せます。
これが、一般的な直線を表す式になるので、覚えておいてくださいね☆
そして、このとき直線とy軸の交点をy切片(せっぺん)といいます。

  • 点R(−3,1)を通る傾き2の直線の式は?
  • y=2x+7

それでは問題!
点R(−3,1)を通る傾き2の直線の式は?

直線を表す式であるy=ax+bに当てはめてみましょう。
傾きは2なので、a=2です。
次に、y切片を求めましょう。
求める式をy=2x+bとします。
この直線は点R(−3,1)を通るので、x=−3,y=1を代入します。
1=2×(−3)+b
これを解くと…
 1=−6+b
−b=−6−1
 b=7
つまり、y切片は7です。
ですから、求める直線の式はy=2x+7となります。

  • 連立方程式をとく
  • 求める直線の式はy=x+4

それでは、パパっと分かる問題の2次方程式を解いてみましょう☆
2点P(−2,2),Q(3,7)を通る直線の式を求めなさい。
という問題でしたね。

直線を表す式であるy=ax+bに2つの点の座標を代入してみましょう。
P(−2,2)を通ることから、x=−2,y=2を代入します。
2=a×(−2)+b
整理すると…
−2a+b=2 ・・・(1)
同じように
Q(3,7)を通ることから、x=3,y=7を代入します。
7=a×3+b
整理すると…
3a+b=7 ・・・(2)
となります。
連立方程式ができあがりましたね。
(1)−(2)を計算すると…
−5a=−5
  a=1
となります。(1)に代入しましょう。
−2+b=2
   b=4
となります。
ですから、求める直線の式はy=x+4です☆

  • 次回もお楽しみに〜!

「ぼくは曲がったことが大嫌いだから、直線は好きになれそう。」という玄さん。
そんな玄さんに、さくらさんが「これで直線いっぱい書けるよ☆」と方眼紙のプレゼント。
「うれし〜…くないわ!!!」
喜んでもらえなかったようです…残念。

次回もお楽しみに!

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