NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第16回 2次方程式

2次方程式とは

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

2次方程式とは

2次方程式とは
  • さくらさんと玄さん
  • 2次方程式を解こう

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「2次方程式とは」!
次のような問題を考えてみましょう☆
−34x+289=0 を解きなさい。

STEP1 1次方程式と2次方程式の違い
  • 指数が2
  • x×x

1次方程式と2次方程式の違いは何でしょうか。
2次方程式には「」があることがポイントです。
xの右上にある「」を指数といって、指数が2の式が2次方程式です。
指数は、同じ数や文字をかけた個数を表しています。
=x×x
となり、xを2個かけた結果であることがわかります。

  • 1次方程式と2次方程式の解き方の違い
  • 因数分解を使おう

1次方程式と2次方程式では、解き方に違いがあります。
1次方程式は、移項、わり算、かけ算で解くことができましたね。
例えば…
3x=x+4
3x−x=4
2x=4
 x=2
しかし、2次方程式では、移項、わり算、かけ算では解けないものもあります。
でも、2次方程式って因数分解に似ている気がしませんか?
それを使えば解けそうですね〜。

STEP2 2次方程式の解き方〜乗法公式を使う〜
  • 乗法公式にあてはめよう
  • この先は…?

それでは問題!
−4=0 を解きなさい。

以前に学習した3つの乗法公式を思い出しておきましょう。
【1】 a+2ab+b=(a+b)
【2】 a−2ab+b=(a−b)
【3】 a−b=(a+b)(a−b)

この中で、【3】の乗法公式が使えそうです。
−4=0

−2=0
と変形できるので、
これを【3】の乗法公式にあてはめると、a=x、b=2ですから
(x+2)(x−2)=0
このあとはどうやって解きましょうか…ヒントは「ゼロに何をかけてもゼロ!」です。

STEP3 2次方程式の解き方〜かけて0の性質〜
  • xy=0を解きなさい。
  • x=0またはy=0

かけて0の性質とは、
2つの数や文字の積が0のときは、どちらか、または両方が0である
ということです。

実際の問題で考えてみましょう!
xy=0を解きなさい。

この問題の答えはx=0またはy=0です。
なぜそうなるのか考えてみると…
x=0のとき、yがどんな数でもxy=0になりますよね。
また、y=0のとき、xがどんな数でもxy=0になります。
これが「かけて0の性質」なのです☆

  • x=−2 または x=2
  • どっちも食べてもよし!

この「かけて0の性質」を使って、先ほど途中まで解いた問題の続きを解いてみましょう。
−4=0
(x+2)(x−2)=0
ここで「かけて0の性質」を使いましょう。
(x+2)(x−2)の積が0、ということですから、
x+2=0 または x−2=0
となります。
よって
x=−2 または x=2
となります。

さて、「または」と言うと、どちらか1つのイメージかもしれません。
しかし、数学で使う場合には、“どちらか一方”と“両方”の2つの意味があります。
ラーメンまたはかつ丼…ラーメンだけもよし、かつ丼だけもよし、両方食べちゃうのもよし!ということですね♪

  • 289はある数の2乗
  • x=17

ここまで来たら、もうパパっと分かる問題が解けそうです☆
−34x+289=0 を解きなさい。
という問題でしたね!

まずは、当てはめられそうな乗法公式を考えましょう。
【1】 a+2ab+b=(a+b)
【2】 a−2ab+b=(a−b)
【3】 a−b=(a+b)(a−b)
この中で、【2】の乗法公式が使えそうです。

次に、問題の式の定数項「289」に注目しましょう。
289はある数の2乗になっています。
10=100、20=400
ですから、
100<289<400
なので
10<289<20
となり、289は10より大きく20より小さい数の2乗ではないかと予測できます。
ここで、289の1の位は「9」であることに注目しましょう。
1けたの数で、2乗して1の位が9になるものを考えると、3=9、7=49があります。
つまり、13か17ではないかと考えられます。
計算すると、
13=169,17=289
となるので、289は17の2乗であることがわかりました。

ですから、
−34x+289=0 
−34x+17=0 
−2×17×x+17=0

これを【2】の乗法公式にあてはめると、a=x、b=17ですから
(x−17)=0
つまり、解はx=17です!

  • 次回もお楽しみに〜!

2次方程式をパパっと解くためにも、乗法公式はしっかり覚えておいてくださいね☆

次回もお楽しみに!

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