NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:00〜2:10
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第11回 2次方程式

式の展開

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

式の展開

式の展開
  • さくらさんと玄さん
  • ロープをどれだけ伸ばせばよい?

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「式の展開」!
次のような問題を考えてみましょう☆
地球の赤道に沿って1周するロープがあります。
地球に直接巻いてある状態から、地表から1mの高さにあるようにするには、ロープをどれだけ伸ばせばよいでしょうか?


STEP1 分配法則
  • 計算しなさい
  • 分配法則

まずは、次の問題を考えてみましょう。
(3a+2b+4c)×5
この式を計算しなさい。


このような問題を解くには、まずカッコの中を項に区切ります。
そして、それぞれの項に5をかけましょう。
 (3a+2b+4c) ×5
=3a×5+2b×5+4c×5
=15a+10b+20c

このように、それぞれの項に数字を配ってかけるような計算の法則を分配法則といいます。

STEP2 式の展開
  • (a+b)(c+d)
  • ac+ad+bc+bd

次は、多項式同士のかけ算を考えてみましょう。
(a+b)(c+d)
この式を計算しなさい。


図形を使って考えてみましょう。
(a+b)(c+d)は、縦の長さが(a+b)、横の長さが(c+d)の長方形の面積を求める式になっています。
上の右図のように分割して考えると、求める面積を4つの長方形に分けることができます。
それぞれの長方形の面積は
ac、ad、bc、bd
となります。
つまり、縦の長さが(a+b)、横の長さが(c+d)の長方形の面積は
ac+ad+bc+bd
と表すことができます。

  • (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
  • さくらさんと玄さん

同じことを、文字式で見てみましょう。
多項式同士のかけ算では、カッコの中を項に区切り、左から順番にかけていきます。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
となることがわかりますね☆

  • 円周=直径×円周率
  • 直径は2(r+1)、円周率はπ

それでは“パパっと分かる”問題を解いてみましょう☆
地球の赤道に沿って1周するロープがあります。
地球に直接巻いてある状態から、地表から1mの高さにあるようにするには、ロープをどれだけ伸ばせばよいでしょうか?

という問題でしたね!

地球の半径をrとします。
地球の赤道に沿って1周するロープの長さは、この円の円周の長さを求めればわかります。
円周=直径×円周率」で求めることができますね。
直径は2r、円周率はπなので
 2r × π = 2πr
となります。

次に、地表から1mの高さにあるロープの長さを考えます。
半径(r+1)の円周の長さを求めればよいですね。
直径は2(r+1)、円周率はπなので
 2(r+1) × π = 2π (r+1)
となります。

ロープをどれだけ伸ばせばよいかを求めるには、2つの円周の差を求めればよいので
 2π (r+1) − 2πr
カッコの中を項で区切って、計算しましょう。
 2π (r+1) − 2πr
= 2πr+2π−2πr
= 2π
円周率を3.14とすると、2πは2×3.14=6.28 となります。
つまり、およそ6.28m伸ばせばよい、ということがわかりました☆

STEP3 乗法公式(平方タイプ)
  • (a+b)(a+b)
  • 求める面積を4つに分ける

問題です!
(a+b)を展開しなさい。

まず、
(a+b)=(a+b)(a+b)
となるので、図形を使って考えてみましょう。
(a+b)(a+b)は、縦の長さが(a+b)、横の長さが(a+b)の正方形の面積を求める式になっています。
上の右図のように分割して考えると、求める面積を4つに分けることができます。
それぞれの長方形の面積は
、ab、ba、b
となります。
つまり、縦の長さが(a+b)、横の長さが(a+b)の正方形の面積は
(a+b)+2ab+b=a+2ab+b
と表すことができます。
この式を乗法公式といいます!

  • 101の2乗は
  • 次回もお楽しみに〜!

乗法公式は、今回紹介したもの以外にもありますが、覚えておくと、多項式同士のかけ算を素早く展開できますので、しっかり覚えておいてくださいね☆
例えば!
101=?
これを解いてみてください!

素直に101×101を計算するのではなく…
(100+1)
として計算するのがポイントです!
(a+b)=a+2ab+b
の公式にあてはめて計算すると
(100+1)=100+2×100×1+1
       =10000+200+1
       =10201
となりますね☆
普通に計算するより簡単でしょう!?

次回もお楽しみに!

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