今日のテーマは「幅が一定の図形」です。
「幅が一定の図形」というのは、
ある図形があって
２本の平行な直線で挟んだとき、
（これを差し渡し幅という）
それを回転させても、幅が変わらない、
つまり
どこから図っても同じ幅であるものをさします。
そしてこのような図形を「定幅図形」といいます。

今日は、
　（１）どんな定幅図形があるのか、
　（２）定幅図形の数学的な性質、
　（３）定幅図形の応用
という３つのポイントで学習します。

定幅図形はいろんな形があります。
まずは、「ルーローの三角形」についてです。
ルーローとは、ルーローの三角形のような
定幅図形を研究した数学者の名前です。
このルーローの三角形を描いてみましょう。
用意するものは、正三角形とコンパス。
頂点にコンパスをあてて、
三角形の１辺を半径とする円弧を描いてゆきます。
円弧を３つつなぎ合わせると、
ルーローの三角形の出来上がりです。

ではこれで、
幅が一定になっているのか考えてみましょう。
ルーローの三角形を平行な２直線ではさむと、
1本の直線は、正三角形の頂点を通り、
もう1本の直線は、
その頂点を中心とする円弧に接します。
差し渡し幅はいつも、
コンパスで弧を描いたときの半径
になっているので、一定であることがわかります。

正五角形をもとに、
同じような描き方をすると
「ルーローの五角形」が描けます。
５つの円弧をつなぎあわせたものです。
同じ方法で、
正奇数角形をもとに作図していくと
ルーローの奇数角形が描けます。

ルーローの七角形の例として、
イギリスの５０ペンス硬貨があります。
硬貨の多くは定幅図形です。
この理由を考えてみると、
自動販売機にコインを入れたとき、
その形が正方形であったとき、
どこかに引っかかって
故障の原因になる恐れがありますが、
定幅図形ならどこにも引っかからずに
なめらかに落ちます。

定幅図形には、
ルーローの奇数角形のように
とがった形のものから、
なめらかな丸みを帯びたものもあります。
このような図形を道具を使って描くことができます。
道具は、
細長いアクリルの板に４つ穴を開けたものです。
このとき、穴の間隔を左から、B、A、Bとします。
Aの間隔は、
正三角形と同じ長さにし、BとBは同じ間隔です。
これを仮に「定幅定規」と呼ぶことにします。
そして、
紙には正三角形とその延長線を描いておき、
その正三角形の1辺の長さが
定幅定規のＡになるようにします。

では描き方です。
正三角形の１辺と定規のＡを重ね、
そのＡの穴どちらかにピンを打ち込みます。
次に定規の両端にペンを差込み、
移動させながら大きな弧と小さな弧を描きます。
定規のＡが三角形のとなりの辺に
重なったところでピンを打ち変えます。
そして同じように弧を描いていきます。
三角形のすべての頂点に打って弧を描くと、
丸みを帯びた定幅図形が出来上がります。

この図形の幅が
一定であるかを考えて見ましょう。
いま、描いた図形を
平行線ではさみこんだ状態を考えます。
平行線の幅は、どんな状態でも
必ず大きな扇形と向かい合う小さな扇形の弧に
接しています。
大きな扇形の半径はＡ＋Ｂ、
小さな扇形の半径はＢです。

つまり、どんな状態も
必ずＡ＋２Ｂの幅が保たれているのです。
このような丸みを帯びた定幅図形は、
定幅定規のＢの長さをかえると
いろいろな形が描けることになります。
そしてＢの長さがないとき、Ｂ＝０のとき、
ルーローの三角形が描けます。

定幅図形の数学的性質について
考えてみましょう。
ここに差し渡し幅が１の定幅図形があります。
これらの周にはなにか決まりがあるかを
調べてみましょう。

実験では、
図形を転がして1周させたときの距離を調べます。
テーブルの端をスタートにして、一回転させます。
円、ルーローの三角形、ルーローの七角形とも
周の長さは同じだとわかりました。
実験の結果からすると、
差し渡し幅が同じならば、
定幅図形の周の長さはみな同じになりそうですが
今度は
計算で周の長さ等しくなるか考えてみましょう。

差し渡し幅が１の、ルーローの三角形の
周の長さはいくつになるでしょうか。
まず、差し渡し幅が１の円の場合について
考えて見ましょう。
円の周の長さは直径×πで求められます。
直径は１なので円の周の長さはπです。
差し渡し幅１の
ルーローの三角形はどうでしょう。
ルーローの三角形の１つの弧の長さは、
直径２の円の6分の１の長さです。
つまり２π÷６＝π/３ それが３つあるので、
π/３×３＝π、になります。
ルーローの三角形も円の周の長さも
πになることが計算によって確かめられました。
差し渡し幅１の定幅図形ならば
周の長さはπになるのです。

では、次に「定幅図形」の
面積について調べてみましょう。
ここに、円、ルーローの三角形、
ルーローの五角形、丸みを帯びた定幅図形、
の4枚の定幅図形があります。
どれも同じ材質、同じ厚さです。
差し渡し幅はどれも１としましょう。
この4枚の図形のうち、
どの図形が一番面積が大きく、
またはどの図形が一番面積が小さいのか
を調べたいと思います。
図形の重さは面積に比例するので、
それぞれの形の重さをはかりで測定し、
順位を調べます。
すると、

　ルーローの三角形　　　　　 ４９．０グラム
　ルーローの五角形　　　　　 ５２．５グラム
　丸みを帯びた定幅図形　　 ５６．７グラム
　円　　　　　　　　　　　　　 　 ５８．２グラム

結果は、ルーローの三角形が一番軽く、
円が一番重くなりました。　　　
つまり、
面積ではルーローの三角形が一番小さく、
円が面積最大です。


さて、差し渡し幅を１とした４つの図形の面積を
計算によって求めると次のようになりました。

　ルーローの三角形　　　　０．７０４８
　ルーローの五角形　　　　０．７５８５
　丸みを帯びた定幅図形　０．７７６４
　円　　　　　　　　　　　　　　０．７８５４

さて、定幅図形では、
差し渡し幅が同じ定幅図形なら
周の長さが同になり、面積は円が最大で、
「ルーローの三角形」が最小になります。
これを考えを使用すると、
進む距離は同じでも、
材料が少なくてすむタイヤが作れます。
ここに、
車輪がルーローの三角形で出来ている
スケートの模型があります。
車体が上下せず移動しています。
ただし車軸が上下します。

さらに、
車軸自体がルーローの三角形になっていて、
外側の車輪は、車軸のルーローの三角形の
頂点をもとにして描いた
定幅図形になっているものがあります。
この車体は上下せず、なめらかに動きます。

どうしてでしょうか。

丸みを帯びた定幅図形を描くときに
定幅定規を使いました。
あの考え方を思い出してください。
車体を支えるルーローの三角形と
そこから地面までの高さを考えます。
車軸のルーローの三角形の幅をaとします。
そして
頂点からのびた直線の部分をｂとします。
車体を支えているところまでの高さは、
大きな扇形が地面に接しているときか、
小さな扇形の半径ｂと、
ルーローの三角形の幅a
を足したもののどちらかになっています。

どの状態においても、
長さを考えるとa＋ｂになっており、
車体が上下しないのです。

次に注目するのは、
車軸の中のルーローの三角形の軌跡です。
ルーローの三角形が回転するとき、
つねに正方形の４つの辺に触れています。
そして頂点に注目すると、
正方形の辺をなぞっていきます。
この事実に注目して、
「四角い穴は空けられないか」考えた人がいます。
イギリスのH・Jワットという人物です。
そしてここには、そのミニチュア版があります。
この刃の形が、
ルーローの三角形をもとにして作られている。

実際に削ってみると、
ほぼ正方形の穴が開きました。
このように考えると、
ルーローの五角形を使って、
正六角形の穴があくドリルや、
ルーローの七角形を使った
正八角形の穴があくドリルも
作れることになります。