今回は、文字と方程式について学んでいきましょう！

先生は１１から１９までの数のかけ算を暗算でできるといいます。
和希さんが選んだ２つの数「１４と１７」の掛け算も、あっという間に答えがでました。
さて、どのように計算したのでしょう？
その答えは最後にお教えしますので、まずは文字と方程式について学びましょう！

釣り合ったてんびんの上に、りんごとおもりが乗っています。
さて、りんご１つは何gでしょう？ただし、りんごは全て同じ重さとします。

りんごの重さが同じなので、両方の皿からりんごを１つずつ取っても、釣り合います。
りんご１つと５０gのおもりが、３００gのおもりと釣り合っていることから、りんご１つの重さは２５０gだとわかります。

最初の状態を、数学のことばで表してみましょう。
りんご１つの重さをｘgとすると、２ｘ＋５０＝ｘ＋３００と表せます。
このような式を方程式といいます。

両方の皿からりんごを１つずつ取っても、てんびんは釣り合いました。
つまり、最初の方程式の両辺からｘを引いても、等式は成り立ちます。
一般に、両辺から同じ数や式を引いても、あるいは足しても、等式は成り立ちます。

今度は、みかん４つと６００gのおもりが釣り合っています。
みかん１つの重さは何gでしょうか？

このことを方程式で表すと、４y＝６００となります。
方程式は両辺を同じ数で割っても成り立ちますので、y＝１５０とわかります。
一般に、両辺を同じ数で割っても、あるいはかけても等式は成り立ちますが、
０で割ることはできません。

日本語で書かれた文章を数学の言葉で表す和文数訳の例題をやってみましょう。
古代ギリシャの数学者・ディオファントスの墓には次のような文章が書かれていたそうです。
「一生の６分の１を少年として過ごし、１２分の１を青年として過ごした。
その後、一生の７分の１が経って結婚し、結婚して５年で子どもが生まれた。
その子は、ディオファントスの一生の半分だけ生きて死亡。
その子を失って４年後にディオファントスも世を去った。」
さて、ディオファントスは何歳まで生きたでしょうか？

ディオファントスの生きた年数をｘとします。
ディオファントスの一生をxを使って年表にすると、上の図のようになります。
このことから、和文数訳すると、
（１/６）ｘ＋（１/１２）ｘ＋（１/７）ｘ＋５＋（１/２）ｘ＋４＝ｘ
となります。

この方程式には、分母の異なるいくつかの分数が含まれています。
そこで、６、１２、７、２の最小公倍数８４を両辺にかけます。
１４ｘ＋７ｘ＋１２ｘ＋４２０＋４２ｘ＋３３６＝８４ｘ
この方程式を整理すると、７５ｘ＋７５６＝８４ｘ
これを解くと、ｘ＝８４
つまり、ディオファントスが生きた年数は８４年です。

方程式をたてるコツは、
・問題をよく読む
・何をｘにするか
・同じものを異なる視点で見て、等しいものを等号（＝）で結ぶ
ということです。

異なる視点で見る、ということの一例です。
上の図で、左側はうさぎに見えます。
でも、９０°回した右側の図はあひるに見えます。
同じものですが、違って見えましたよね。
このように、同じものを異なる視点で見て、等しいものを等号（＝）で結ぶということが方程式をたてるときには重要です。

何か２桁の数を考えて下さい。例えば３８。
その数の１の位と１０の位を入れ替えましょう。この場合、８３です。
２つの数を足すと３８＋８３＝１２１
これは１１の倍数になっています。
この性質は、どんな２桁の数にも成り立ちます。

確かめてみましょう。
１０の位の数をa、１の位の数をbとすると、その数は１０a＋bと表せます。
１の位と１０の位を入れ替えた数は１０b＋aと表せます。
２つの数をたすと、１１a＋１１b＝１１(a＋b)となります。
どんな２桁の数でも成り立つということがわかりましたね！

和希さんの誕生日を、先生が数学を使って当てます。
まず、和希さんには次のようなことをやってもらいました。
（１）誕生月の数を１０倍して、１をたす
（２）その数を５倍して、生まれた日の数をたす

和希さんが求めた値は３７８。
この値を聞いただけで、先生は和希さんの誕生日７月２３日を当ててしまいました！

種明かしをしましょう。
まず、誕生日をa月b日とします。
すると、
（１）誕生月の数を１０倍して、１をたすと、１０a＋１
（２）その数を５倍して、生まれた日の数をたすと、５０a＋５＋b
となります。
和希さんの場合、５０a＋５＋b＝３７８となりました。
ここで、bに注目します。bは誕生日なので、最大で３１です。
つまり、５＋bは最大で３６です。
ということは５＋bは絶対に５０よりも小さくなりますので、
５＋b＜５０が成り立ちます。
そこで、５０a＋５＋bを５０で割ると、商はa、余りは５＋bです。
さて、和希さんの求めた３７８を５０で割ると、商は７、余りは２８です。
この２つの結果から、a＝７、５＋b＝２８となります。
計算するとb＝２８−５＝２３となりますので、
誕生日は７月２３日だとわかったのです！

和希さんが、１３個のだんごをくしに刺して、青い皿か赤い皿に置いていきます。
ただし、１本のくしに刺せるだんごは、１個か３個。
１個の場合は赤い皿に、３個の場合は青い皿に置いていきます。
そして、くしを皿に置くごとにベルを鳴らします。

目隠しをした先生が、音を聞いてどちらのお皿をもらうか決めます。
和希さんは７回ベルを鳴らしました。
そして、先生は９個のだんごが乗った青い皿を指定しました。
音を聞いただけで、どちらの皿に何個のだんごが乗っているかがわかったそうです。

先生が知っている情報は以下の２つでした。
だんごの個数＝１３
ベルのなった回数＝７

ここで、赤い皿に置いた回数をｘ、青い皿に置いた回数をyとすると、
ｘ＋３y＝１３
ｘ＋y＝７
このような２つの方程式ができます。
上の式から下の式を引くと、２y＝６となり、y＝３と求められます。
また、ｘ＋y＝７なので、ｘ＋３＝７より、ｘ＝４と求められます。
したがって、赤い皿には４個のだんごが乗っています。
また、青い皿に置くときは１回に３個のだんごを置いているので、
３×３＝９個のだんごが乗っていることがわかります。

このように、同時に成り立っている複数の方程式を連立方程式といいます。

さて、番組の最初で紹介した２桁のかけ算１４×１７。
秋山先生はどうやって暗算したのでしょう。
まず、一方の数に、もう一方の数の１の位の数をたします。
１４＋７＝２１
そして、それぞれの１の位の数をかけ合わせます。
４×７＝２８

さらに、２１と２８の位を１つずらして、たし算をしましょう。
すると２３８と答えが求められます。

この種明かしをしましょう。
１１から１９までの２つの整数を（１０＋a）と（１０＋b）とします。
（１０＋a）×（１０＋b）＝１０×１０＋１０b＋１０a＋ab
１０でくくると、
１０×１０＋１０b＋１０a＋ab＝（１０＋a＋b）×１０＋ab
となります。
このとき、１０＋a＋bは片方の整数＋もう一方の１の位になっています。
また、abは１の位の積になっています。
これに先程の数をあてはめて考えてみましょう。
（１４＋７）×１０＋４×７＝２１０＋２８＝２３８
成り立っていることがわかりましたね！

次回は「位置の特定のしかた　〜GPSのしくみ〜」です。お楽しみに〜！