NHK高校講座

数学T

Eテレ 毎週 月曜日 午前10:30〜10:50
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第28回 図形と計量(三角比)

三角比と図形の計量

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

三角比と図形の計量

  • ばんび/あすみ
  • 湯浅先生

数学Tの時間です!
この番組のMCはみみずくのアイク、みなさんといっしょに学習していくのは、藤本ばんびさん、酒井蒼澄(あすみ)さんの2人です。
そして数学を分かりやすく教えてくれるのは、湯浅弘一先生です。
今日も数学を楽しみましょう!

今回のテーマは「三角比と図形の計量」です!

あすみ「計量?計量?え?どういうこと?」

湯浅先生「まあ、たぶん大丈夫。今まで出てきたことをちょっとずつ思い出しながらフル活用すれば、絶対大丈夫ですから!」

アイク「まずは、ちょっとだけおさらいをしておこう!」

復習画面

上の画像は正弦定理と余弦定理です。
三角形の辺の長さと角の大きさ、そして外接円の半径の関係をサインやコサインで表した式です。

Step1 正弦定理と余弦定理の利用
  • 問題1
  • ばんびのかいた図

2つの定理を使って問題を解いてみましょう。
ばんびさんは、上の右の画像のように、問題の三角形の図をかきました。

∠Aが45°、∠Bの対辺が√3+1、∠Cの対辺が√2。
また、∠Aの対辺がaです。

湯浅先生「求めたい長さはaでした。では、正弦定理と余弦定理、どっち使ったらいかなあ?」

問題1で使う余弦定理

あすみ「aを求めたいし。Aの角出てるから…」

2人「そしたらやっぱり余弦定理!」

湯浅先生「余弦定理を使おうと思った理由は?」

あすみ「Aの角の大きさも分かってるし、bとcの大きさも分かってるので、余弦定理の式がぴったりあてはまる!」

このように、与えられた条件に応じて、正弦定理や余弦定理を使い分けましょう。
2辺の長さと1つの角が分かっているときには、余弦定理が使えます。
この問題ではaの長さを求めたいので、上の画像の青で囲った式が使えそうです。

ばんびの解答

それでは、問題を解いてみましょう。

ばんびさんは上の画像のように、余弦定理の式にa、b、cとAの値を代入しました。

するとa=4となりました。
a>0 なので、a=2として正解です。

  • 問題2
  • 問題2の方針

aの値が分かったところで、次は角度を求める問題に挑戦です。
上の左の画像の問題を解きましょう。
この場合は、正弦定理と余弦定理のどちらを使えばいよいでしょうか。

∠Aと対応する辺の長さ、a=2が分かっているので、正弦定理が使えそうです。

問題2と正弦定理

角とその対辺が分かっている時に便利なのが正弦定理です。
この三角形では∠Aと辺aの長さがわかっていて、求めたいのは∠Cの大きさです。
対辺cは√2なので、ここから正弦定理に当てはめて考えることができそうです。

  • この計算は大丈夫?
  • あすみさんの解答

それでは、∠Cを求めてみましょう。
あすみさんは、上の左の画像のように正弦定理を使って値を代入していきました。ところで、赤く印をつけた部分の計算は…正しいでしょうか?

あすみさんはそのまま計算を進めて、上の右の画像のように∠Cの大きさを90°と導き出しました。

ところが…

湯浅先生「∠Cが90°ってことは…∠Bが45°ってことになるね」

だとしたら、直角二等辺三角形になるはずです。でも、辺の比が1:1:√2になってはいません。

あすみさん、残念ながら不正解。
計算を見直してみると、やはり先ほどの√の入った分数の計算のところでミスをしていました。

  • 問題2 「÷」に
  • 両辺を√2で割る

この計算では、上の左の画像のように、「÷」としなくてはなりませんでした。

ここから、
c/sinC=2√2
と式を立てて計算します。

∠C=30°

すると、上の画像のように計算することができ、
sinC=1/2
と導くことができます。

ここから、∠C=30°として正解です。

こんなところにも三角形
  •  東京タワーの三角形
  • 鉄橋の三角形

私たちの周りには、いろいろなところに三角形が使われています。
たとえば、東京タワーや鉄道の鉄橋にも…

  • ダンボールの三角形
  • トラス構造

段ボールの中にも三角形。

実はこれらは、三角形を骨組みとしたトラス構造と呼ばれるもの。
三角形の強さを利用した構造です。
なぜ三角形だと強いのか。ぜひ調べてみてくださいね。

Step2 三角比の表
  • 三角比の表

アイク「突然だけど、ばんび。sin30°の値ってなんだっけ?」

ばんび「1/2!」

アイク「その通り!じゃあ、あすみ。sin17°の値は?」

あすみ「17°はちょっと分からない」

アイク「だよねえ?僕も分からないよ。そんなときに便利なアイテムがあるんだよ」

上の画像は、三角比の表です。
三角比の値が分からないときは、表を使って調べることができます。

  • 三角比の表 30°
  • 三角比の表 17°

sin30°を三角比の表で見ると、0.5となっています。
つまり1/2です。

では17°はどうでしょう。
三角比の表からsin17°は0.2924だと分かります。

アイク「オーケー!じゃあ、この表を使って問題を解いてみようぜ!」

Step3 三角比の表を使って問題を解く
  • 問題3
  • 問題3 ヒント

上の左の画像の問題に挑戦です。

2人「え?正五角形?さっきまで三角形(の話)だったよね、ずっと。」

図形を分けて考えましょう。
まず、正五角形の頂点をA、B、C、D、Eとします。
次に、円の中心Oと、正五角形の頂点を線で結ぶと、三角形が5つできました。この5つの三角形は、すべて合同です。

このように、正多角形は外接円を使って考えてみましょう。

三角形OABに注目してみましょう。
円の半径は1なので、この三角形の2つの辺の長さは1、つまり二等辺三角形です。
∠AOBは、360°÷5=72°です。
これで、2辺の長さと、そのはさむ角の大きさが分かりました。

  • 三角形の面積の公式
  • sin72°は?

あすみ「5つに分けて、三角形にして考えるんだね。」

ばんび「そしたら、さっきの三角比の表とかを使って、面積が求められそうだよね。」

アイク「三角形の面積の公式、あったよね。思い出せるかな?」

左の画像は、三角形の面積の公式です。
この公式を使って、問題を解いていきます。
sin72°の値は、三角比の表で探します。

ばんびさんの計算

ばんびさんは、上の画像のように答えました。

1/2×1×sin72°
という式を立てたところまではよかったのですが…

湯浅先生「0.5に0.9511をかけると、この数字にはなりません。やってごらんもう1回」

ばんびさんがもう一度計算をしてみると、「0.047555」ではなく、「0.47555」が正しい結果でした。
ばんびさん、電卓の操作でミスをしてしまったようです。

あすみさん正解

一方、あすみさんは、ミスなく計算を進め、上の画像のように正五角形の面積を2.37775と答えて正解です。

  • 注意力
  • 次回もお楽しみに

湯浅先生「計算間違いや操作ミスしちゃうとか、書き間違いなど、数学以前のところに気をつかわなきゃいけない。数学は注意を払ってがんばりましょう」


それでは、次回もお楽しみに!

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