NHK高校講座

数学T

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:10〜2:30
※この番組は、昨年度の再放送です。

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今回の学習

第27回 第3章 三角比

三角形の面積

  • 数学監修:湘南工科大学特任教授・帝京大学非常勤講師 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

三角形の面積

  • 松本あゆ美さん
  • 学び隊

この番組のMCは松本あゆ美さん。
そして今回みなさんと一緒に学習するのは、
学び隊の、奥井亜実さん、小味山紗英さん、山崎紗彩さん(崎は山偏に竒)の3人です!

面積が大きいのはどっち!?
  • 面積が大きいのはどちら?
  • 紗英ちゃん

上の左図のような2つの三角形。
面積が大きいのはどちらだと思いますか?
学び隊の3人は「面積は同じ」と予想しました。答えは最後にわかります!
今回は三角形の面積について学習しましょう☆

さて、三角形の面積は(1/2)×(底辺)×(高さ)で求めることができましたね。
しかし、先ほどのように高さがわからない三角形の面積はどのように求めたらよいでしょうか。
実は、三角比を使うと高さを求めることができるのです。

これ、知っ得!?
  • 角Aと向かい合う辺の長さをa
  • 三角形の書き方のルール

今まで学習してきた三角形には書き方のルールがありました。
角Aと向かい合う辺の長さを、角Bと向かい合う辺の長さを、角Cと向かい合う辺の長さをと表します。
このルールはどんな三角形においても同じです。

  • sinA=a/c
  • tanA=a/b

ここで、直角三角形の三角比を思い出しておきましょう!
sin
cos
tan

でしたね☆
今回はサインの値を使います。しっかり覚えて次に進みましょう!

三角比を使って面積を求める
  • 三角形の面積を求めてみましょう
  • 直角三角形ABHに注目

上の左図のような三角形の面積を求めてみましょう。
まず、頂点Bから変ACに垂線をおろします。
この垂線と辺ACの交点をHとし、BHの長さをとします。
直角三角形ABHに注目してみると
sin
となっているので、両辺にcをかけると
sin
となります。
これを三角形の面積の公式にあてはめると、
面積=×sin×(1/2)
となります。

  • 2辺の長さとはさむ角の大きさ
  • 2辺の長さとはさむ角の大きさがわかれば、三角形の面積が求められる

つまり、三角形の面積をとすると、
=(1/2)bcsin
となります。
同じようにして、他の辺と角の大きさでも面積を求めることができます。
=(1/2)casin
=(1/2)absin

つまり、2辺の長さとはさむ角の大きさがわかれば、三角形の面積が求められるということです!

  • 底辺が5、高さが2、角Aの大きさが30°
  • 面積は5

それでは実際に公式を使ってみましょう!
上の図のように、底辺が5、高さが2、角Aの大きさが30°のとき、
三角形の面積は5×2×(1/2)=5とわかります。
このとき、三角比を使って面積を求めても同じ値になることを確認しましょう。
=(1/2)bcsin
 =(1/2)×5×4×sin30°
 =(1/2)×5×4×(1/2)
 =5

同じになることが確認できましたね!

面積が大きいのはどっち!?
  • 面積が大きいのはどちら?
  • △DEFの方が面積が大きい

それでは問題!
番組の冒頭ででてきた2つの三角形、面積が大きいのはどちらでしょうか。

△ABC=(1/2)×6×1×sin45°=3/√2=2.121…
△DEF=(1/2)×1×5×sin60°=5√3/4=2.165…

となるので、
△DEFの方が面積が大きいことがわかります。

また、面積を小数を使って表す方法のほか、
分母を揃え、分子をルートをの中にまとめて比べることもできます。
△ABC=(1/2)×6×1×sin45°=3/√2=√72/4
△DEF=(1/2)×1×5×sin60°=5√3/4=√75/4

となるので、この方法でも△DEFの方が面積が大きいことがわかりますね。

数学のちょっと難しい話
  • 湯浅弘一先生(ゆあさま)
  • ケーキを6等分しよう

ここで、三角形について教えてくれるのは湯浅弘一先生(ゆあさま)☆

三角形はいろいろな図形に隠れています。
例えば、ホールケーキを6等分するには…
紐を使って半径の長さをとり、その長さが1辺になるような正六角形をつくります。
すると、ケーキが簡単に6等分できますね!
番組では、もうひとつの方法も紹介しています。
ぜひ覚えてどこかで披露してみてくださいね☆

正多角形の面積を求める
  • 正十二角形の面積を求めてみましょう
  • 二等辺三角形の面積を求める

半径1の円に内接する正十二角形の面積を求めてみましょう。
正十二角形の中に、上の左図にある緑色の二等辺三角形は12個あります。
まず、この二等辺三角形の面積を求めましょう。
上の右図のように、
角Aは360°÷12=30°となります。
ですから、
=(1/2)bcsin
 =(1/2)×1×1×sin30°
 =(1/2)×1×1×(1/2)
 =1/4

  • 正十二角形の面積を求めてみましょう
  • 正多角形の中には二等辺三角形が隠れている

つまり、正十二角形の面積は
(1/4)×12=3
と求められます。

正十二角形に限らず、正多角形の中には二等辺三角形が隠れています。
そのひとつの二等辺三角形の面積を求めて、何倍かすることで正多角形の面積は求められます。

キミもチャレンジ
  • 半径1の円に内接する正360角形の面積を求めなさい
  • 円周率πの値に似ていると思いませんか?

それでは、問題を考えてみましょう!
半径1の円に内接する正360角形の面積を求めなさい。

まず二等辺三角形の面積を求めます。
=(1/2)bcsin
 =(1/2)×1×1×sin1°
 =(1/2)×1×1×0.0175
 =0.00875

となります。
求める正360角形の面積は
0.00875×360=3.15
と求められます。

円周率πの値に似ていると思いませんか?
実は、正720角形、1000角形…と計算していくと、「3.14…」という値に近づいていきます。

  • 次回もお楽しみに〜
  • 次回もお楽しみに〜

数学は毎日少しずつ繰り返して復習することで必ずできるようになります。
次回もお楽しみに〜☆

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