NHK高校講座

数学T

Eテレ 毎週 月曜日 午後2:10〜2:30
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第26回 第3章 三角比

三角比の相互関係

  • 数学監修:湘南工科大学特任教授 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

三角比の相互関係

  • 松本あゆ美さん
  • 学び隊

この番組のMCは松本あゆ美さん。
そして今回みなさんと一緒に学習するのは、
学び隊の、加藤幹夫くん、奥井亜実さん、多堀玲央くんの3人です!

  • サイン、コサイン、タンジェン
  • 三角比の相互関係

前回までに学習した三角比、サイン、コサイン、タンジェントについてはしっかり覚えていますか?

三角比には以下のような相互関係があります。
(1)tan=sin/cos
(2)sin+cos=1
(3)1+tan=1/cos


今回はこれらの相互関係が成り立つことをひとつずつ確かめていきましょう!

三角比の相互関係(1)
  • AC=cosA、BC=sinA
  • tanA=sinA/cosA

上の左図のような△ABCにおいて、
sin
cos

となります。
ここで、c=1とすると、
sin
cos

となります。

このとき、上の右図のように、AC=cosBC=sinと表すことができます。
つまり、tan=sin/cosとなることがわかります。
sinやcosはひとつのかたまりですから、を約分しようとしないでくださいね!

三角比の相互関係(2)
  • 三平方の定理を使おう
  • aを角Aの三角比で表すとsinA、bを角Aの三角比で表すとcosA

上の左図のような直角三角形で考えてみましょう。
三平方の定理からとなります。
ここで=1のとき、
を角Aの三角比で表すとsinを角Aの三角比で表すとcosとなります。
三平方の定理からわかった式に、これらの値を代入すると
sin+cos=1
となりますね。

これ、知っ得!?
  • sinAの値を2乗した値
  • まったく違う値になるので気をつけましょう

(sinのカッコを外すとsinとなります。
sinAとならないことに注意しましょう。

sinはsinの値を2乗した値ですが、
sinという角度のサインの値になります。

例えば、が5°のとき、sin5°sin(5°)の値を計算してみましょう。
三角比の表から、sin5°=0.0872なので、
sin5°=(sin5°)=0.0872=0.00760384
sin(5°)=sin25°=0.4226

となります。
まったく違う値になるので気をつけましょう!

三角比の相互関係(3)
  • 三角比の相互関係を使って考えよう
  • 三角比の相互関係(3)

三角比の相互関係を使って
1+tan=1/cos
を導いてみましょう。

三角比の相互関係(2)よりsin+cos=1
両辺をcosでわると
sin/cos+cos/cos=1/cos
(sin/cos+cos/cos=1/cos

三角比の相互関係(1)よりtan=sin/cosとなるので
tan+1=1/cos
つまり
1+tan=1/cos
となっていますね!

三角比の相互関係(3)
  • 湯浅弘一先生(ゆあさま)
  • 三角比の1つの値がわかれば、ほかの2つの値がわかる

ここで、三角比の相互関係について教えてくれるのは湯浅弘一先生(ゆあさま)です☆

三角比の相互関係は、三角比の1つの値がわかれば、ほかの2つの値がわかる大事な公式です。

例題を解いてみましょう。
cos=3/4のとき、sinを求めましょう。(ただし∠Aは鋭角とする)

まず、cosからsinの値を求めるには、三角比の相互関係のどの式を使うと良いか考えます。
三角比の相互関係(2)のsin+cos=1が使えそうです。
cos=3/4を代入して
sin+(3/4)=1
sin+9/16=1
sin=7/16

∠Aは鋭角なので
sin=√7/4
と求められます!

  • sinA=5/13のとき、tanAを求めなさい
  • tanA=5/12

それでは問題です!
sin=5/13のとき、tanを求めなさい。(ただし∠Aは鋭角とする)

答えは…
三角比の相互関係(2)よりsin+cos=1にsin=5/13を代入して
(5/13)+(cos=1
これを計算するとcos=144/169となります。
∠Aは鋭角なのでcos=12/13
三角比の相互関係(1)よりtan=sin/cosなので
tan=(5/13)/(12/13)=5/12
と求めることができますね!

三角比の性質
  • 三角形の内角の和は180°
  • sin(90°−A)=cosA、 cos(90°−A)=sinA

90°−の三角比を使うと、サインをコサインに、コサインをサインに変えることができます。

三角形の内角の和は180°です。
つまり=180°
Cが直角のとき、=90°より=90°−と表されます。
上の右図のような直角三角形ABCにおいて
sin
cos

今度は角Bが左下にくるように図形をまわして考えましょう。
sin
cos

となります。
このことから
sin=cos
cos=sin

となっていることがわかります。
つまり
sin(90°−)=cos
cos(90°−)=sin

となります。

キミもチャレンジ!
  • sin65°=cos(?)°
  • sin65°=cos25°

それでは、問題を考えてみましょう!
sin65°=cos(?)°
?に入る数字を求めましょう!


答えは…
sin65°=cos(90°−65°)
      =cos25°

となります。
ちなみに、三角比の表でsin65°とcos25°の値を調べると、どちらも0.9063となっています。
正しいことが確認できましたね!

  • 次回もお楽しみに〜
  • 次回もお楽しみに〜

数学は毎日少しずつ繰り返して復習することで必ずできるようになります。
次回もお楽しみに〜☆

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