NHK高校講座

数学T

Eテレ 毎週 月曜日 午前10:30〜10:50
※この番組は、前年度の再放送です。

数学T

Eテレ 毎週 月曜日 午前10:30〜10:50
※この番組は、前年度の再放送です。

今回の学習

第23回 図形と計量(三角比)

三角比の相互関係

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

三角比の相互関係

  • ばんびとあすみ
  • 湯浅先生

数学Tの時間です!
この番組のMCはみみずくのアイク、みなさんといっしょに学習していくのは、藤本ばんびさん、酒井蒼澄(あすみ)さんの2人です。
そして数学を分かりやすく教えてくれるのは、湯浅弘一先生です。
今日も数学を楽しみましょう!

今回のテーマは「三角比の相互関係」です!

あすみ「相互関係って何?」

湯浅先生「三角比のつながりを調べよう!というイメージです」

アイク「ところで、三角比ってなんだっけ?今までに3つ出てきたよね」

2人「サイン、コサイン、タンジェント!!」

直角三角形における、三角比の定義をおさらいしておきましょう。
角θに対して、
sinθ=対辺/斜辺
cosθ=底辺/斜辺
tanθ=対辺/底辺 で求められます。

  • 問題
  • サイン・コサイン

では、上の左の画像の問題に挑戦です。

ばんびさんは、上の右の画像のようにアルファベットの筆記体を三角形に書いて
sinθ=3/5
cosθ=4/5
と答えて正解です。

  • タンジェント

次にあすみさんが、上の左の画像のように「t」の筆記体を書いて
tanθ=3/4
と答えて正解です。

Step1 タンジェントとサイン・コサインの関係
  • 公式
  • サインとコサインを求める

ここからは、タンジェントとサイン・コサインの関係を調べていきましょう。
タンジェントを、サインとコサインで表した
tanθ=sinθ/cosθ
という式を導いていきます。

まずは、直角三角形abcのsinθとcosθを求めてみましょう。
sinθ=a/c
cosθ=b/c
ですね。

湯浅先生「cをいくつにしたら分数がなくなる?」

ばんび「c=1?」

湯浅先生「分数をなくしたいから、c=1に決めよう!」

  • 斜辺を1にする
  • 辺を置き換える

斜辺の長さcを1とすると、
sinθ=a/1=a
cosθ=b/1=b
つまり、対辺a=sinθ、底辺b=cosθ になりました。

では、tanθはどうなるでしょうか?

あすみ「斜辺が1でしょ。対辺aがsinθ、底辺bがcosθって考えて...」

ばんび「tanθは底辺分の対辺だよね。そうしたら… sinθ/cosθになるね」

湯浅先生「そのとおりです。この先、この公式はよく使いますので、頭の中にきちっと入れておいてください」

三角比の相互関係は、他にもどんなものがあるのか、見ていきましょう。

Step2 サインとコサインの関係
  • 三平方の定理
  • サインとコサインの関係式

直角三角形ABCにおいて成り立つ「三平方の定理」とは、辺abcの長さの関係が、
+b=c
になるというものです。これを使って、sinθとcosθの関係を導いてみましょう。

cを1とすると、a=sinθ、b=cosθ なので、これを三平方の定理に代入すると上の右の画像のように
sinθ+cosθ=1
となります。sinθとcosθの関係式が導き出せました。

ばんび「今まで使っていた、三平方の定理を使ってこの式ができたんだね」

あすみ「うん。つながりを感じた」

この公式も、今後よく使う公式なので、確実に覚えましょう!

  • 公式
  • 2乗の位置を間違えると

湯浅先生「注意してほしいことがあります。公式(sinθ+cosθ=1)を読んでもらえますか?」

あすみ「サイン2乗シータ + コサイン2乗シータ =1」

湯浅先生「そうなんです。だから、θではないんですね」

2乗の位置が違うと表す意味が変わります。
例えば、θが30°の場合で考えてみましょう。

sin30° =1/2 なので、
sin30°=1/4 ですが、
30° を2乗してしまうと、
sin(30°)=900°=0 になってしまいます。

2乗の位置を間違えないようにしましょう。

Step3 三角比の相互関係を使おう!
ばんびの回答

これまで見た2つの関係式を使って問題を解いてみましょう。
sinθ、cosθ、tanθのうち1つの値が分かれば、他の三角比の値を求めることができます。

cosθ=3/5のとき、sinθの値を求めなさい
ただし、角θは鋭角とする(0°<θ<90°)

ばんびさんは、sinθ+cosθ=1 の関係式を使うことにしました。

sinθを求めるために、

sinθ=1−cosθ

と式を変形して、cosθに3/5を代入して
sinθ=1−(3/5) =16/25

求めるものはsinθなので、
sinθ=√16/25=4/5
と答えて、正解です。

あすみの回答

続いて、あすみさんが挑戦です。
cosθ=3/5のとき、tanθの値を求めなさい

sinθは、先ほどばんびさんが求めた4/5です。
あすみさんは、tanθ=sinθ/cosθ の公式を使うことにしました。

この式に、sinθの値4/5を代入し、上の画像のように計算しました。
分数/分数のところは、分母と分子にそれぞれ5をかけて約分しています。

tanθ=4/3
と答えて、正解です。

ピタゴラスの音階
  • 三平方の定理
  • ピタゴラス

三平方の定理を発見したといわれるのは、古代ギリシアの数学者・ピタゴラス。
ピタゴラスは、音楽の研究でも知られています。
弦の長さと音階の関係を明らかにしたそうです。
どんな関係があるのか、気になる人は調べてみてくださいね。

90°−θのサイン・コサインの関係
  • 内角の和
  • 三角をひっくり返す

三角比の相互関係は、他にもいろいろあります。

上の図の直角三角形では、角B=90°−θです。
ここで、90°−θのsinとcosをどう表せるか考えてみましょう。

角θに対して、sinθ=a/c
ここで、三角形をひっくり返してみましょう。
cos(90°−θ)=a/c
つまり、
cos(90°−θ)=sinθ
という関係が成り立つことがわかります。

三角形をもとに戻してみましょう。
cosθ=b/c
sin(90°−θ)=b/c
つまり、
sin(90°−θ)=cosθ
も成り立ちます。

  • 足すと90°になる三角は
  • 答え

足すと90°になる2つの角のsinとcosには、左上の図のような関係があります。

ここで問題です!
次の式が正しければ「〇」、間違っていれば「×」で答えましょう。

問題:sin40°=sin50°

2人とも「×」と答え、正解です。
sin40°=cos50° であれば、「〇」でした。

問題:cos45°=sin45°

2人とも「〇」と答えました。
45°と45°は、足して90°になるので、正解です。

  • 答え
  • 次回もお楽しみに!

問題:sin52°=cos48°

あすみさんは「〇」、ばんびさんは「×」と答えました。
正解は「×」、あすみさん残念!

湯浅先生「あすみさんは、なんで〇だと思ったの?」

あすみ「度数だけを足すと90°になるから… あっ100?!」

湯浅先生「引っかかっちゃいましたね。足して90°だったらよかったんだよね。三角比はまだまだ続きますので、こうやって楽しみながらやっていきましょうね!」


それでは、次回もお楽しみに!

科目トップへ

制作・著作/NHK (Japan Broadcasting Corp.) このページに掲載の文章・写真および
動画の無断転載を禁じます。このページは受信料で制作しています。
NHKにおける個人情報保護について | NHK著作権保護 | NHKインターネットサービス利用規約