NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午前10:50〜11:00
※この番組は、前年度の再放送です。

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午前10:50〜11:00
※この番組は、前年度の再放送です。

今回の学習

第26回 三角比の導入

三角形の相似

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

三角形の相似

三角形の相似
  • さくらさんと玄さん
  • 相似

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
さて、写真の中に隠れているさくらさん。
その部分だけ拡大した写真をみると…どちらも同じさくらさんですよね。
つまり、2枚の写真に写るさくらさんは相似ということです!

  • CFの長さxを求めなさい
  • さくらさん

今回の“パパっと分かる(目標)”は、「三角形の相似」!
次のような問題を考えてみましょう☆
上の左図を見てください。
AB//DE//CF,AB=4,DE=6のとき,CFの長さxを求めなさい。

この問題は、相似を使って解くことができます!
相似は、パッと見では判断できないので注意が必要ですよ☆

STEP1 三角形の相似条件
  • 相似比
  • 相似比は2:1

三角形の相似とは、
それぞれの角の大きさが等しく、それぞれの辺の長さの比が等しいことをいいます。
そして、それぞれの辺の長さの比を相似比といいます。

例えば、上の右図のような2つの三角形の相似比は2:1です。
辺の長さの比と角度が同じなので、相似なことが確かめられますね。

  • 相似条件
  • 相似条件
  • 相似条件

三角形の相似条件は次の3つです。
どれか1つを満たしていることが確かめられれば、2つの三角形は相似であるといえます。
(1)3組の辺の比がすべて等しい
(2)2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
(3)2組の角がそれぞれ等しい


  • 三角形が裏返っていても、条件を満たしていれば相似
  • 玄さん

1つの三角形が裏返っていても、条件を満たしていれば相似です!

STEP2 練習問題
  • 問題
  • 相似

問題を解いてみましょう!
上の左図を見てください。
2つの相似な三角形を探し、その相似条件を示しなさい。


△DAEと△CABにおいて
∠ADE=∠ACB=35°(仮定) …(1)
∠DAE=∠CAB(共通) …(2)
となるので、
2組の角がそれぞれ等しい」という相似条件を満たしていることがわかります。
したがって、△DAE△CABとなります。
」は相似を表す記号です。

STEP3 発展問題
  • 問題
  • 玄さん

それでは問題!
上の左図を見てください。
2つの相似な三角形を探し、その相似条件を示しなさい。


△AEBと△CEDにおいて
AE:EB=CE:ED=3:5 …(1)
∠AEB=∠CED(対頂角) …(2)
となるので、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」という相似条件を満たしていることがわかります。
したがって、△AEB∽△CEDとなります。

  • パパっと分かる問題
  • 玄さん

それではパパっと分かる問題を解いてみましょう☆
上の左図を見てください。
AB//DE//CF,AB=4,DE=6のとき,CFの長さxを求めなさい。

…という問題でしたね!

「3じゃない?」と、答えを予想する玄さん。。。
みなさんは相似を使って考えていきましょう!

  • BC:DC=2:3
  • x=12/5

解いていきましょう☆

△ACBと△ECDにおいて   
 ∠ACB=∠ECD(対頂角) …(1)    
 ∠BAC=∠DEC(錯角) …(2)
となるので
(1)(2)から、
2組の角がそれぞれ等しい」ので、
△ACB∽△ECD  
なので、
AB:ED=4:6=2:3
ですから、相似比は2:3となり、
BC:DC=2:3
です。

次に、△BFCと△BEDにおいて   
 ∠BFC=∠BED(同位角) …(1)    
 ∠CBF=∠DBE(共通) …(2)
となるので
(1)(2)から、
2組の角がそれぞれ等しい」ので、
△BFC∽△BED  
となります。
BC:DC=2:3
となることがわかっているので、
2つの三角形の相似比は2:5となり、
CF:DE=x:6=2:5
となります。
これを解くと…
5x=6×2
 x=12/5
と求めることができます。

  • 次回もお楽しみに〜!

「12/5って何?聞いてないよ!」と文句を言う玄さん…。
答えがいつも整数とは限らないんです!
数学の答えは予想で答えちゃダメですよ〜。

次回もお楽しみに!

科目トップへ

制作・著作/NHK (Japan Broadcasting Corp.) このページに掲載の文章・写真および
動画の無断転載を禁じます。このページは受信料で制作しています。
NHKにおける個人情報保護について | NHK著作権保護 | NHKインターネットサービス利用規約