NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午前10:50〜11:00
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第20回 文章題から2次方程式を作って解くこと

2直線の位置関係

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

2直線の位置関係

2直線の位置関係
  • さくらさんと玄さん
  • 交点の座標を求めよう

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「2直線の位置関係」!
次のような問題を考えてみましょう☆
次の2本の直線の交点の座標を求めなさい。
 y=x+2
 y=−2x+8


2直線は平行でない限り、どこかに交点ができます。
ということは…「ぼくとさくらちゃんにもどこかに交点ができる!」と盛り上がる玄さんですが、さくらさんは「私と玄くんはどこまでいっても平行線」とつれない返事…

STEP1 グラフをかいてみる
  • 2直線のグラフを書く
  • 交点の座標は(2,4)

2直線のグラフをかいてみましょう。
y=x+2のグラフは、y切片が2、傾きが1です。
ですから、y軸上の点(0,2)を通り、x軸方向に+1進むとy軸方向に+1進む直線です。
同様に、
y=−2x+8のグラフは、y切片が8、傾きが−2です。
ですから、y軸上の点(0,8)を通り、x軸方向に+1進むとy軸方向に−2進む直線です。

交点では、2直線それぞれのxとyの値が同じになります。
2つの直線の式にxの値を代入して、交点の座標を探してみましょう。
x=1のとき
y=x+2のy座標は3
y=−2x+8のy座標は6
yの値が同じになりませんね。
次にx=3のときを考えてみましょう。
y=x+2のy座標は5
y=−2x+8のy座標は2
yの値が同じになりません。
では、x=2のときはどうでしょうか。
y=x+2のy座標は4
y=−2x+8のy座標は4
2本の直線のx座標とy座標が一致しましたね☆
つまり、交点の座標は(2,4)です。

STEP2 連立方程式を使う
  • 連立方程式を解く
  • 交点の座標は(2,4)

2直線の交点の座標は、連立方程式を使って求めることができます。
y=x+2…(1)
y=−2x+8…(2)
この連立方程式を解きましょう。
(1)−(2)を計算すると
   0=3x−6
 −3x=−6
   x=2
となります。
x=2を(1)に代入すると
 y=2+2
  =4
となります。
つまり、この連立方程式の解は x=2,y=4 です。
よって、交点の座標は(2,4)です☆
連立方程式を解くことで、交点の座標を求めることができました。

STEP3 平行な2直線
  • 傾きが同じ
  • 2本の直線が平行

2本の直線が平行なとき、交点はありません。
つまり、傾きが同じということです。

  • 直線mの式を求めよう
  • 直線mは y=−3x+8

直線 y=−3x+4 をlとします。
直線lに並行で、点(3,−1)を通る直線mの式を求めなさい。


この問題を解きながら考えていきましょう☆
求める直線mの傾きをa、y切片をbとすると、直線mは
y=ax+b
と表すことができます。
これが y=−3x+4 と平行です。
平行な直線の傾きは同じですから、
a=−3
です。
つまり、直線mの式はy=−3x+bと表せます。
直線mは点(3,−1)を通るので、代入して計算すると
−1=−3×3+b
−1=−9+b
 b=8
となるので、直線mは
y=−3x+8
と求めることができます。

STEP4 垂直な2直線
  • 直線lと直線mが垂直な場合
  • (直線lの傾き)×(直線mの傾き)=−1

次は垂直な直線です。
直線lと直線mが垂直な場合には…
(直線lの傾き)×(直線mの傾き)=−1
という関係が成り立ちます。
大事ですから、しっかり覚えておいてくださいね☆
…玄さんのように、三角定規で測ろうとしちゃだめですよ!

  • 直線mの式を求めよう
  • 直線mは y=(1/3)x−2

それでは問題!
直線 y=−3x+4 をlとします。
直線lに垂直で、点(3,−1)を通る直線mの式を求めなさい。


求める直線mの傾きをa、y切片をbとすると、直線mは
y=ax+b
と表すことができます。
これが y=−3x+4 と垂直です。
垂直な2直線の傾きをかけると、−1になるのでしたね!
つまり
−3×a=−1
計算して
a=1/3
となります。
つまり、直線mの式はy=(1/3)x+bと表せます。
直線mは点(3,−1)を通るので、代入して計算すると
−1=(1/3)×3+b
−1=1+b
 b=−2
となるので、直線mは
y=(1/3)x−2
と求めることができます。

  • 次回もお楽しみに〜!

これで、垂直な2直線も平行な2直線も完璧ですね☆

「さくらちゃんとぼくは交わることのない平行線?でも、傾きは同じっていう共通点があるよね。」という玄さん。
これには、さくらさんも「…そうだね。」と、降参!?
最後は2人で平行な直線になってみました☆

次回もお楽しみに!

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