NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午前10:50〜11:00
※この番組は、前年度の再放送です。

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今回の学習

第14回 2次方程式

平方根を知る

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

平方根を知る

平方根を知る
  • さくらさんと玄さん
  • √48−√27

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「平方根を知る」!
次のような問題を考えてみましょう☆
√48−√27を計算しなさい!

STEP1 ルートとは
  • 面積が4の正方形の1辺の長さは2
  • 面積が3の正方形の1辺の長さは?

2×2=4 なので、
面積が4の正方形の1辺の長さは2です。
では、面積が3の正方形の1辺の長さはいくつでしょうか?
答えは√3です。
つまり、
√a×√a=a (a≧0)
これがルートのルールです。

√3×√3=3
√5×√5=5
√6×√6=6
√7×√7=7
…このようになります☆

  • aの平方根
  • 1辺の長さは√3

さて、面積が3の正方形の1辺の長さをxとすると、次のような数式で関係を表すことができます。
 x=3
x × xが3になるということですから、
 x=±√3
となります。
このように、同じ数を2個かけて「a」になる数をaの平方根といいます。
つまり、3の平方根は±√3となります。
この問題の答えは正の数(xは辺の長さですからね☆)なので、1辺の長さは√3であることがわかります。

  • 玄くんぐったり
  • 答えは6

それでは早速ルートの計算をやってみましょう!
√3×√12=?

答えは…
√3×√12=√36
     =
36は6なので、√36=6となりますね!

STEP2 素数とは
  • √3+√12
  • 素数

例えば次のような問題を考えてみてください。
√3+√12
これを計算すると√15…にはなりません。
ルートの足し算では、ルートの中の数字をそろえないと計算ができません。
この問題を解くカギは「素数」です☆

素数とは、1とその数自身でしか割ることができない、1より大きい整数のことです。
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,…
と、素数は無限に存在します。
とりあえず、「2,3,5,7,11」くらいまで覚えておくと便利です!
0と1は素数でないことに注意してくださいね☆

STEP3 素因数分解
  • 48を素因数分解
  •  48を素因数分解

素因数分解とは、素数のかけ算に分解することをいいます。
例えば…
4=×
9=×
30=××
…といった感じです。

それでは問題!
素因数分解を使って√48を簡単にしてください。

まず、48を順番に小さな素数で割ってみましょう。
48をで割ると24
24をで割ると12
12をで割ると6
6をで割ると3
3をで割ると1
これ以上は割れないですね!
ですから、
√48=√(2×2×2×2×3)
と表すことができます。
計算しましょう。
√48=√(2×2×2×2×3)
   =√2×√2×√2×√2×√3
   =2×2×√3
   =4√3
簡単になりましたね☆

  • √27を素因数分解
  • 答えは√3

それでは、パパっと分かる問題を解いてみましょう☆
√48−√27を計算しなさい!
でしたね!

√48は先ほど計算しましたね!
√48=4√3
でした。
√27も素因数分解を使って簡単にしてみましょう!
27をで割ると9
9をで割ると3
3をで割ると1
素因数分解ができましたね。
ですから、
√27=√(××3)=√3
となります。
よって
√48−√27=4√3−3√3=√3
となります☆
√3を引いて、4√3−3√3=4−3=1とはならないので注意してくださいね!

  • √3
  • √3

ルートは文字式の計算と同じように考えることができます。
√3=aとすると、
 4√3−3√3=4a−3a=a
となり、√3=aなので
 4√3−3√3=√3
であることがわかります。
つまり、
ルートの足し算・引き算はルートの数をそろえたら係数を計算!
これがルールです☆

  • ルートは直接かけたり、割ったりできますが、足したり、引いたりはできません
  • それ以上簡単にできないところまで計算したら、それが答え

最後に、ルートのポイントをおさらいしておきましょう!
ルートは直接かけたり、割ったりできますが、足したり、引いたりはできません。
足し算・引き算でルートの数がそろえられないときには…
それ以上簡単にできないところまで計算したら、それが答えです。

ちなみに…STEP2で出てきた「√3+√12」の答えですが、
√3+√12=√3+2√3=3√3
となります☆

  • 次回もお楽しみに〜!

素数については、ルートの計算を繰り返しているうちに身に付きます☆
玄さん、「世界一の素数博士になってやる!」と決意したようです。
「まずは、2,3,5,7,9,…」
おっと、9は素数じゃありませんよ…道のりは遠そうですね。。。

次回もお楽しみに!

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