NHK高校講座

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午前10:50〜11:00
※この番組は、前年度の再放送です。

ベーシック数学

Eテレ 毎週 月曜日 午前10:50〜11:00
※この番組は、前年度の再放送です。

今回の学習

第13回 2次方程式

たすきがけによる因数分解

  • 湘南工科大学特任教授/湘南工科大学附属高校教育顧問 湯浅 弘一
学習ポイント学習ポイント

たすきがけによる因数分解

たすきがけによる因数分解
  • さくらさんと玄さん
  • aとbはそれぞれいくつ?

みなさんと一緒に学習していくのは、さくらさんと三浦玄さんです。
今回の“パパっと分かる(目標)”は、「因数分解クイズ」!
次のような問題を考えてみましょう☆
2つの整数aとbがあります。
 a×b=−10
 a+b=−3
となるとき、aとbはそれぞれいくつ?


  • かけると−10になる2つの整数の組み合わせ
  • 足すと−3になるのは?

かけると−10になる2つの整数の組み合わせを考えてみましょう。
 (−2)×5=−10
 2×(−5)=−10
 (−1)×10=−10
 1×(−10)=−10
以上、4通りです。
この中で、足すと−3になるのは
 2+(−5)=−3
つまり、2と−5の組み合わせだけです。
ですから、aとbはどちらかが2で、どちらかが−5となります。
 (a,b)=(2,−5)
 (a,b)=(−5,2)

この考え方が、因数分解に役立ちます☆

STEP1 乗法公式を使おう
  • 乗法公式(和と積のタイプ)
  • 乗法公式(和と積のタイプ)

+(a+b)x+abを因数分解すると、次のようになります。
+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
これも乗法公式(和と積のタイプ)です☆

右辺を展開して確かめてみましょう。
 (x+a)(x+b)=x+bx+ax+ab
           =x+(a+b)x+ab
左辺と右辺が等しいことがわかりますね!

  • 乗法公式(和と積のタイプ)
  • xの係数はaとbを足した数、定数項はaとbをかけた数

+(a+b)x+ab
この式に注目しましょう。
xの係数はaとbを足した数、定数項はaとbをかけた数となっていることがわかります。
これ、冒頭のパパっと分かる問題を思い出しませんか!?
このようなとき、
+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
と因数分解できるのです。

例えば…
−3x−10を因数分解してみましょう。
 x−3x−10=x+(−3)x+(−10)
ですから、乗法公式と見比べると…
 a+b=−3
 ab=−10
となります。
足して−3、かけて−10になる2つの数の組み合わせは2と−5です。
これを乗法公式にあてはめると
 −3x−10=(x+2)(x−5)
となります。


STEP2 xの係数が1以外の場合
  • 因数分解しなさい
  • 玄さんは楽勝!?

次の問題を考えてみましょう。
6xy+11x+4
この式を因数分解しなさい。


「公式を教えてもらったから楽勝!」という玄さん。
ではやってもらいましょう
「xの係数が11だから、足すと11。定数項が4だから、かけると4。…になる2つの数は…」
玄さん、今回はxに係数「6」がありますよ。。。
「…じゃあ無理だ!」と玄さんは言いますが、
大丈夫です、ちゃんと因数分解できます☆

  • 右辺を展開
  • さくらさんと玄さん

今回は答えを先に見ちゃいましょう!
 6xy+11x+4
この式を因数分解すると次のようになります。
 6xy+11x+4(3x+4)(2x+1)

右辺を展開して正しいことを確かめましょう。
 (3x+4)(2x+1)=6x+3x+8x+4
             =6x+(3+8)x+4
             =6x+11x+4
左辺と右辺が同じであることがわかりますね!
つまり、
6xy+11x+4(3x+4)(2x+1)
が正しいことが確かめられました。

STEP3 「たすきがけ」を覚えよう
  • たすきがけ
  • たすきがけ

y+11x+=(3x+4)(2x+1)
このとき、の係数6xの係数11定数項4には次のような関係があります。
の係数6を「3×2
定数項4を「4×1
と分解すると、上の左図のように斜めにかけ算をして「×」と「×」を足した11がxの係数となっています。

ここで、上の右図を見てください。
青い四角で囲んだ3と4緑の四角で囲んだ2と1は、因数分解した結果の中に現われています。
x+)(x+
わかりましたか〜?

  • 4つの数字をa、b、c、dとして考えてみましょう
  • 4つの数字をa、b、c、dとして考えてみましょう

それでは、4つの数字をa、b、c、dとして考えてみましょう☆
の係数acxの係数ad+bc定数項bd
となるので、
acy+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
となりますね!

  • たすきがけ
  • 次回もお楽しみに〜!

因数分解をするときに使う上の左図のような図のことを「たすきがけ」といいます。
これでxに係数がある場合も、パパっと因数分解できますね☆

ちなみに、着物で作業をするときに袂をまとめるときにヒモで結ぶことを「たすきがけ」といい、計算の図がその形に似ていることから同じく「たすきがけ」と呼ばれています。
番組では、ダンスでたすきがけを紹介しています。
みなさん、一緒に踊って覚えてくださいね☆

次回もお楽しみに!

科目トップへ

制作・著作/NHK (Japan Broadcasting Corp.) このページに掲載の文章・写真および
動画の無断転載を禁じます。このページは受信料で制作しています。
NHKにおける個人情報保護について | NHK著作権保護 | NHKインターネットサービス利用規約